एक निर्माणकर्ता नट और बोल्ट का निर्माण करता है। एक पैकेट नटों के निर्माण में मशीन A पर एक घंटा और मशीन B पर 3 घंटे काम करना पड़ता है, जबकि एक पैकेट बोल्ट के निर्माण में 3 घंटे मशीन A पर और 1 घंटा मशीन B पर काम करना पड़ता है। वह नटों से ₹17.50 प्रति पैकेट और बोल्टों पर ₹7.00 प्रति पैकेट लाभ कमाता है। यदि प्रतिदिन मशीनों का अधिकतम उपयोग 12 घंटे किया जाए तो प्रत्येक (नट और बोल्ट) के कितने पैकेट उत्पादित किए जाएँ ताकि अधिकतम लाभ कमाया जा सके।
Exercise-12.2-4
Download our app for free and get started
मान लीजिए निर्माणकर्ता x नट तथा y बोल्ट का निर्माण करता है, तो निम्न तालिका प्राप्त होती है।
| प्रकार | पैकेट की संख्या | मशीन A (घंटे में) | मशीन B (घंटे में) | लाभ (₹ में) |
| नट | x | 1x | 3x | 17.50x |
| बोल्ट | y | 3y | 1y | 7y |
| कुल | x + y | x + 3y | 3x + y | 17.50x + 7y |
| उपलब्धता | 12 | 12 |
$\therefore$ कुल लागत, Z = 17.5x + 7y अर्थात् हमको उद्देश्य फलन
Z = 17.5x + 7y ...(i)
का अधिकतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
x + 3y $\leq$ 12 ...(ii)
3x + y $\leq$ 12 ...(iii)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(iv)
सर्वप्रथम, रेखा x + 3y = 12 का ग्राफ खींचते हैं।
| x | 0 | 12 |
| y | 4 | 0 |
(0, 0) असमिका x + 3y $\leq$ 12 में रखने पर,
0 + 3 $\times$ 0 $\leq$ 12 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 12 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है। चूँकि x, y $\geq$ 0 है, अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में है। अब, रेखा 3x + y = 12 का ग्राफ खींचते हैं।
| x | 4 | 0 |
| y | 0 | 12 |
(0, 0) असमिका 3x + y $\leq$ 12 में रखने पर,
3 $\times$ 0 + 0 $\leq$ 12 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 12 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है।
समीकरण x + 3y = 12 तथा 3x + y = 12 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु B(3, 3) प्राप्त होता है।
$\therefore$ सुसंगत क्षेत्र OABCO है। इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु O(0, 0), A(4, 0), B(3, 3) तथा C(0, 4) हैं। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।
| शीर्ष बिंदु | Z = 17.5x + 7y |
| O(0, 0) | 0 |
| A(4, 0) | 70 $\rightarrow$ अधिकतम |
| B(3, 3) | 73.50 |
| C(0, 4) | 28 |
Z का बिंदु (3, 3) पर अधिकतम मान ₹73.50 है, अतः अधिकतम लाभ ₹73.50 प्राप्त करने के लिए प्रत्येक दिन 3 पैकेट नट तथा 3 पैकेट बोल्ट उत्पाटित किए जाने चाहिए।
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1View Solutionएक खिलौना कंपनी, A और B दो प्रकार की गुड़ियों का निर्माण करती है। मार्किट परीक्षणों तथा उपलब्ध संसाधनों से संकेत मिलता है कि सम्मिलित उत्पादन स्तर प्रति सप्ताह 1200 गुड़ियों से अधिक नहीं होना चाहिए और B प्रकार की गुड़ियों की अधिक से अधिक माँग A प्रकार की गुड़ियों की आधी है। इसके अतिरिक्त A प्रकार की गुड़ियों का उत्पादन स्तर दूसरे प्रकार की गुड़ियों के उत्पादन स्तर के तीन गुने से 600 नग अधिक है। यदि कंपनी A और B प्रत्येक गुड़िया पर क्रमशः ₹12 और ₹16 का लाभ कमाती है, लाभ का अधिकतमीकरण करने के लिए प्रत्येक के कितने नगों का साप्ताहिक उत्पादन करना चाहिए।
- 2दिखाइए कि Z का न्यूनतम मान दो बिंदुओं से अधिक बिंदुओं पर घटित होता है।View Solution
निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z = x + y का अधिकतमीकरण कीजिए:
x - y $\leq$ -1, -x + y $\leq$ 0, x, y $\geq$ 0 - 3View Solutionएक किसान दो प्रकार के चारे P और Q को मिलाता (मिश्रण) है। P प्रकार के चारे, जिसका मूल्य ₹250 प्रति थैला जोकि पोषक तत्व A के 3 मात्रक, तत्व B के 2.5 मात्रक और तत्व C के 2 मात्रक रखता है जबकि Q प्रकार का चारा जिसका मूल्य ₹200 प्रति थैला है, पोषक तत्व A का 1.5 मात्रक, तत्व B का 11.25 मात्रक और तत्व C के तीन मात्रक रखता है। पोषक तत्वों A, B और C की न्यूनतम आवश्यकताएँ क्रमशः 18 मात्रक, 45 मात्रक और 24 मात्रक हैं। प्रत्येक प्रकार के थैलों की संख्या ज्ञात कीजिए ताकि मिश्रण के प्रत्येक थैले का मूल्य न्यूनतम हो? मिश्रण के प्रत्येक थैले का न्यूनतम मूल्य क्या है?
- 4ग्राफ़ीय विधि से निम्न रैखिक प्रोग्रामन समस्या को हल कीजिए:View Solution
निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z = -3x + 4y का न्यूनतमीकरण कीजिए:
x + 2y $\leq$ 8, 3x + 2y $\leq$ 12, x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 - 5View Solutionदो अन्न भंडारों A और B की भंडारण क्षमता क्रमशः 100 क्विंटल और 50 क्विंटल है। उन्हें तीन राशन की दुकानों D, E और F पर अन्न उपलब्ध कराना पड़ता है, जिनकी आवश्यकताएँ क्रमशः 60, 50, और 40 क्विंटल हैं।
भंडारों से दुकानों को प्रति क्विंटल परिवहन व्यय निम्न सारणी के अनुसार है:प्रति क्विंटल परिवहन व्यय (रुपयों में) को / से A B D 6 4 E 3 2 F 2.50 3 परिवहन व्यय के न्यूनतमीकरण के लिए आपूर्ति का परिवहन कैसे किया जाए? न्यूनतम परिवहन मूल्य क्या है?
- 6View Solutionएक सौदागर दो प्रकार के निजी कंप्यूटर-एक डेस्कटॉप नमूना और दूसरा पोर्टेबल नमूना, जिनकी कीमतें क्रमशः ₹25,000 और ₹40,000 होगी, बेचने की योजना बनाता है। वह अनुमान लगाता है कि कंप्यूटरों की कुल मासिक माँग 250 नगों से अधिक नहीं होगी। प्रत्येक प्रकार के कंप्यूटरों के नगों की संख्या ज्ञात कीजिए जिसे सौदागार अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिए संग्रह करें यदि उसके पास निवेश के लिए ₹70 लाख से अधिक नहीं है और यदि डेस्कटॉप नमूने पर उसका लाभ ₹4500 और पोर्टेबल नमूने पर ₹5000 लाभ हो।
- 7View Solutionएक कंपनी प्लाईवुड के अनूठे स्मृति चिह्न का निर्माण करती है। A प्रकार के प्रति स्मृति चिह्न के निर्माण में 5 मिनट काटने और 10 मिनट जोड़ने में लगते हैं। B प्रकार के प्रति स्मृति चिह्न के लिए 8 मिनट काटने और 8 मिनट जोड़ने में लगते हैं। दिया गया है कि काटने के लिए कुल समय 3 घंटे 20 मिनट तथा जोड़ने के लिए 4 घंटे उपलब्ध हैं। प्रत्येक A प्रकार के स्मृति चिन्न पर ₹5 और प्रत्येक B प्रकार के स्मृति चिन्न पर ₹6 का लाभ होना है। ज्ञात कीजिए कि लाभ के अधिकतमीकरण के लिए प्रत्येक प्रकार के कितने-कितने स्मृति चिह्नों का कंपनी द्वारा निर्माण होना चाहिए?
- 8आलेखीय विधि से निम्न समस्या को हल कीजिए:View Solution
निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत
x + 3y $\leq$ 60 ...(i)
x + y $\geq$ 10 ...(ii)
x $\leq$ y ...(iii)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(iv)
Z = 3x + 9y का न्यूनतम और अधिकतम मान ज्ञात कीजिए। - 9View Solutionएक तेल कारखाने में दो डिपो A तथा B हैं, जिनकी क्षमताएँ क्रमशः 7000 लिटर और 4000 लिटर की हैं। कारखाने द्वारा तीन पेट्रोल पंपों D, E और F के लिए आपूर्ति करनी है, जिनकी आवश्यकताएँ क्रमशः 4500 लिटर, 3000 लिटर और 3500 लिटर की है। डिपो से पेट्रोल पंपों की दूरियाँ (km में) निम्नांकित सारणी के अनुसार है:
दूरियाँ (km में) को/से A B D 7 3 E 6 4 F 3 2 यह मानते हुए कि परिवहन व्यय प्रति 10 लिटर पर प्रति किलोमीटर 1 रुपया है, ज्ञात कीजिए कि कैसी आपूर्ति योजना अपनाई जाए, जिससे परिवहन व्यय का न्यूनतमीकरण हो जाए? न्यूनतम व्यय क्या है?
- 10View Solutionएक आहारविद् दो प्रकार के भोज्यों X और Y को इस प्रकार मिलाना चाहता है कि मिश्रण में विटामिन A, की कम से कम 10 मात्रक, विटामिन B की कम से कम 12 मात्रक और विटामिन C की 8 मात्रक हों 1 kg भोज्यों में विटामिनों की मात्रा निम्नलिखित सारणी में दी गई है।
भोज्य विटामिन A विटामिन B विटामिन C X 1 2 3 Y 2 2 1 भोज्य X के 1 kg का मूल्य ₹16 और भोज्य y के 1 kg का मूल्य ₹20 है। वांछित आहार के लिए मिश्रण का न्यूनतम मूल्य ज्ञात कीजिए।