एक कारखाने में टेनिस के रैकेट तथा क्रिकेट के बल्ले बनते हैं। एक टेनिस रैकेट बनाने के लिए 1.5 घंटा यांत्रिक समय तथा 3 घंटे शिल्पकार का समय लगता है। एक क्रिकेट बल्ले को तैयार करने में 3 घंटे यांत्रिक समय तथा 1 घंटा शिल्पकार का समय लगता है। एक दिन में कारखाने में विभिन्न यंत्रों पर उपलब्ध यांत्रिक समय के 42 घंटे और शिल्पकार समय के 24 घंटे से अधिक नहीं हैं।
- रैकेटों और बल्लों को कितनी संख्या में बनाया जाए ताकि कारखाना पूरी क्षमता से कार्य करे?
- यदि रैकेट और बल्ले पर लाभ क्रमशः 20 तथा 10 हों तो कारखाने का अधिकतम लाभ ज्ञात कीजिए यदि कारखाना पूरी क्षमता से कार्य करे।
Exercise-12.2-3
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मान लीजिए एक दिन में टेनिस के रैकेट तथा क्रिकेट के बल्ले क्रमशः x तथा y बनते हैं, तब निम्न तालिका प्राप्त होती है।
| प्रकार | संख्या | यांत्रिक समय (घंटे में) | शिल्पकार समय (घंटे में) | लाभ (₹ में) |
| टेनिस के रैकेट | x | 1.5x | 3x | 20x |
| क्रिकेट के बल्ले | y | 3y | 1y | 10y |
| कुल | x + y | 1.5x + 3y | 3x + y | 20x + 10y |
| उपलब्धता | 42 | 24 |
42 घंटे से अधिक यांत्रिक समय उपलब्ध नहीं है।
$\therefore$ 1.5x + 3y $\leq$ 42
24 घंटे से अधिक शिल्पकार का समय उपलब्ध नहीं है
$\therefore$ 3x + y $\leq$ 24
रैकेट पर लाभ ₹20 तथा बल्ले पर ₹10 है।
अतः हमको उद्देश्य फलन Z = 20x + 10y ...(i)
का अधिकतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
1.5x + 3y $\leq$ 42 ...(ii)
3x + y $\leq$ 24 ...(iii)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(iv)
सर्वप्रथम, रेखा 1.5x + 3y = 42 का ग्राफ खींचते हैं।
| x | 0 | 28 |
| y | 14 | 0 |
(0, 0) असमिका 1.5x + 3y $\leq$ 42 में रखने पर,
1.5 $\times$ 0 + 3 $\times$ 0 $\leq$ 42 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 42 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है। चूँकि x, y $\geq$ 0
अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में होगा।
अब, रेखा 3x + y = 24 का ग्राफ खींचते हैं।
| x | 0 | 8 |
| y | 24 | 0 |
(0, 0) असमिका 3x + y $\leq$ 24 में रखने पर, 3 $\times$ 0 + 0 $\leq$ 24 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 24 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है।
समीकरण 1.5x + 3y = 42 तथा 3x + y = 24 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु B(4, 12) प्राप्त होता है। अतः सुसंगत क्षेत्र OABCO है।
इस प्रकार-सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु O(0, 0), A(8, 0), B(4, 12) तथा C(0, 14) हैं। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।
| शीर्ष बिंदु | Z = 20x + 10y |
| O(0, 0) | 0 |
| A(8, 0) | 160 |
| B(4, 12) | 200 $\rightarrow$ अधिकतम |
| C(0, 14) | 140 |
अतः अधिकतम लाभ, जबकि कारखाना पूरी क्षमता से कार्य करें, ₹200 है।
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