एक कंपनी प्लाईवुड के अनूठे स्मृति चिह्न का निर्माण करती है। A प्रकार के प्रति स्मृति चिह्न के निर्माण में 5 मिनट काटने और 10 मिनट जोड़ने में लगते हैं। B प्रकार के प्रति स्मृति चिह्न के लिए 8 मिनट काटने और 8 मिनट जोड़ने में लगते हैं। दिया गया है कि काटने के लिए कुल समय 3 घंटे 20 मिनट तथा जोड़ने के लिए 4 घंटे उपलब्ध हैं। प्रत्येक A प्रकार के स्मृति चिन्न पर ₹5 और प्रत्येक B प्रकार के स्मृति चिन्न पर ₹6 का लाभ होना है। ज्ञात कीजिए कि लाभ के अधिकतमीकरण के लिए प्रत्येक प्रकार के कितने-कितने स्मृति चिह्नों का कंपनी द्वारा निर्माण होना चाहिए?
Exercise-12.2-7
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मान लीजिए कंपनी A प्रकार के स्मृति चिह्न x तथा B प्रकार के स्मृति चिह्न y उत्पादित करती है, तब निम्न तालिका प्राप्त होती है।
| प्रकार | संख्या | काटने की मशीन का समय (मिनट में) | जोड़ने में समय (मिनट में) | लाभ (₹ में) |
| A | x | 5x | 10x | 5x |
| B | y | 8y | 8y | 6y |
| कुल | x + y | 5x + 8y | 10x + 8y | 5x + 6y |
| उपलब्धता | 3 $\times$ 60 + 20 = 200 | 4 $\times$ 60 = 240 |
A प्रकार के स्मृति चिह्न पर ₹5 तथा B प्रकार के स्मृति चिह्न पर ₹6 का लाभ प्राप्त होता है।
$\therefore$ हमको उद्देश्य फलन Z = 5x + 6y ...(i)
का अधिकतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
5x + 8y $\leq$ 200 ...(ii)
10x + 8y $\leq$ 240 $\Leftrightarrow$ 5x + 4y $\leq$ 120 ...(iii)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(iv)
सबसे पहले रेखा 5x + 8y = 200 का ग्राफ खींचते हैं।
| x | 0 | 40 |
| y | 25 | 0 |
(0, 0) असमिका 5x + 8y $\leq$ 200 में रखने पर,
5 $\times$ 0 + 8 $\times$ 0 $\leq$ 200 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 200 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर होगा। चूँकि x, y $\geq$ 0, अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में स्थित होगा।
अब, रेखा 5x + 4y = 120 का ग्राफ खींचते हैं।
| x | 0 | 24 |
| y | 30 | 0 |
(0, 0) असमिका 5x + 4y $\leq$ 120 में रखने पर,
5 $\times$ 0 + 4 $\times$ 0 $\leq$ 120 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 120 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है।
समीकरण 5x + 8y = 200 तथा 5x + 4y = 120, को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु B(8, 20) प्राप्त होता है।
$\therefore$ सुसंगत क्षेत्र OABCO है।
इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु O(0, 0), A(24, 0), B(8, 20) तथा C(0, 25) हैं। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।
| शीर्ष बिंदु | Z = 5x + 6y |
| O(0, 0) | 0 |
| A(24, 0) | 120 |
| B(8, 20) | 160 $\rightarrow$ अधिकतम |
| C(0, 25) | 150 |
Z का अधिकतम गान बिंदु B(8, 20) पर ₹160 प्राप्त होता है। अतः अधिकतम लाभ ₹160 प्राप्त करने के लिए A प्रकार के स्मृति चिह्न तथा B प्रकार के 20 स्मृति चिह्न उत्पादित करने चाहिए।
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