(आबंटन समस्या) किसानों की एक सहकारी समिति के पास दो फ़सलों X और Y को उगाने के लिए 50 हेक्टेयर भूमि है। फसलों X और Y से प्रति हेक्टेयर लाभ का क्रमशः ₹10,500 और ₹9,000 का अनुमान लगाया गया है। फसलों X और Y के लिए अपतृण नियंत्रण के लिए शाक-नाशी द्रव का क्रमशः 20 लिटर तथा 10 लिटर प्रति हेक्टेयर प्रयोग किया जाता है। इसके अतिरिक्त प्रयुक्त भूमि से जुड़ी नालियों से संबद्ध तालाब पर निर्भर जीवधारियों एवं मछलियों की जीवन-सुरक्षा हेतु शाकनाशी की मात्रा 800 लिटर से अधिक न हो। प्रत्येक फ़सल के लिए कितनी भूमि का आबंटन होना चाहिए ताकि समिति के सकल लाभ का अधिकतमीकरण किया जा सके?
example-7
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माना कि X फसल के लिए x हेक्टेयर भूमि तथा Y फसल के y हेक्टेयर भूमि का आबंटन होता है। स्पष्टतः x $\geq$ 0, y $\geq$ 0
X फसल पर प्रति हेक्टेयर लाभ = ₹10500
Y फसल पर प्रति हेक्टेयर लाभ = ₹9000
इसलिए कुल लाभ = ₹(10500x + 9000y)
समस्या का गणितीय सूत्रीकरण निम्न है:
निम्न अवरोधों के अंतर्गत
x + y $\leq$ 50 (भूमि संबंधी व्यवरोध) ...(i)
20x + 10y $\leq$ 800 (शाकनाशी का उपयोग संबंधी व्यवरोध)
अर्थात् 2x + y $\leq$ 80 ...(ii)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(iii)
Z = 10500x + 9000y का अधिकतमीकरण कीजिए
अब हम (i) से (iii) तक असमीकरण निकाय का आलेख खीचते हैं। आकृति में सुसंगत क्षेत्र OABC को छायांकित दिखाया गया है। निरीक्षण कीजिए कि सुसंगत क्षेत्र परिबद्ध है।
X फसल पर प्रति हेक्टेयर लाभ = ₹10500
Y फसल पर प्रति हेक्टेयर लाभ = ₹9000
इसलिए कुल लाभ = ₹(10500x + 9000y)
समस्या का गणितीय सूत्रीकरण निम्न है:
निम्न अवरोधों के अंतर्गत
x + y $\leq$ 50 (भूमि संबंधी व्यवरोध) ...(i)
20x + 10y $\leq$ 800 (शाकनाशी का उपयोग संबंधी व्यवरोध)
अर्थात् 2x + y $\leq$ 80 ...(ii)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(iii)
Z = 10500x + 9000y का अधिकतमीकरण कीजिए
अब हम (i) से (iii) तक असमीकरण निकाय का आलेख खीचते हैं। आकृति में सुसंगत क्षेत्र OABC को छायांकित दिखाया गया है। निरीक्षण कीजिए कि सुसंगत क्षेत्र परिबद्ध है।
| कोनीय बिंदु | Z = 10500x + 9000y |
| O(0, 0) | 0 |
| A(40, 0) | 420000 |
| B(30, 20) | 495000 $\leftarrow$ अधिकतम |
| C(0, 50) | 450000 |
कोनीय बिंदुओं के निर्देशांक क्रमशः (0, 0), (40, 0), (30, 20) और (0, 50) हैं। उद्देश्य फलन Z = 10500x + 9000y का मान इन शीर्षों पर निकालना चाहिए ताकि उस शीर्ष को ज्ञात किया जा सके जिस पर अधिकतम लाभ होता है।
अतः समिति को X फसल के लिए 30 हेक्टयर और Y फसल के 20 हेक्टयर का आबंटन होगा ताकि अधिकतम लाभ ₹4,95,000 का हो सके।
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