एक सौदागर दो प्रकार के निजी कंप्यूटर-एक डेस्कटॉप नमूना और दूसरा पोर्टेबल नमूना, जिनकी कीमतें क्रमशः ₹25,000 और ₹40,000 होगी, बेचने की योजना बनाता है। वह अनुमान लगाता है कि कंप्यूटरों की कुल मासिक माँग 250 नगों से अधिक नहीं होगी। प्रत्येक प्रकार के कंप्यूटरों के नगों की संख्या ज्ञात कीजिए जिसे सौदागार अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिए संग्रह करें यदि उसके पास निवेश के लिए ₹70 लाख से अधिक नहीं है और यदि डेस्कटॉप नमूने पर उसका लाभ ₹4500 और पोर्टेबल नमूने पर ₹5000 लाभ हो।
Exercise-12.2-8
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मान लीजिए सौदागर x डेस्कटॉप कंप्यूटर तथा y पोर्टेबल कंप्यूटर उत्पादित करता है, तब निम्न तालिका प्राप्त होती है।
| प्रकार | संख्या | निवेश (₹ में) | लाभ (₹ में) | प्रत्येक कम्प्यूटर का क्रय मूल्य (₹ में) |
| डेस्कटॉप | x | 25000x | 4500x | 25000x |
| पोर्टेबल | y | 40000y | 5000y | 40000y |
| कुल | x + y | 25000x + 40000y | 4500x + 5000y |
डेस्कटॉप नमूने की कीमत ₹25000 तथा पोर्टेबल नमूने की कीमत ₹40000 है, जबकि सौदागर अधिकतम ₹70 लाख निवेश कर सकता है।
$\therefore$ 25000x + 40000y $\leq$ 7000000
अतः उद्देश्य फलन Z = 4500x + 5000y ...(i)
का अधिकतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
x + y $\leq$ 250 ...(ii)
25000x + 40000y $\leq$ 7000000 $\Leftrightarrow$ 5x + 8y $\leq$ 1400 ...(iii)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0
सबसे पहले रेखा 5x + 8y = 1400 का ग्राफ खींचते हैं।
| x | 0 | 280 |
| y | 175 | 0 |
(0, 0) असमिका 5x + 8y $\leq$ 1400 में रखने पर,
5 $\times$ 0 + 8 $\times$ 0 $\leq$ 1400 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 1400 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है। चूँकि x, y $\geq$ 0 है, अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में स्थित होगा।
अब, रेखा x + y = 250 का ग्राफ खींचते हैं।
| x | 0 | 250 |
| y | 250 | 0 |
(0, 0) असमिका x + y $\leq$ 250 में रखने पर, 0 + 0 $\leq$ 250 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 250 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है।
समीकरण x + y = 250 तथा 5x + 8y = 1400 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु B(200, 50) प्राप्त होता है।
$\therefore$ सुसंगत क्षेत्र OABCO है।
इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु A(250, 0), B(200, 50) तथा C(0, 175) हैं। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।
| शीर्ष बिंदु | Z = 4500x + 5000y |
| A(250, 0) | 1125000 |
| B(200, 50) | 1150000 $\rightarrow$ अधिकतम |
| C(0, 175) | 875000 |
Z का अधिकतम मान बिंदु B(200, 50) पर 1150000 प्राप्त होता है। अतः Z का अधिकतम मान 1150000 प्राप्त करने के लिए 200 डेस्कटॉप कंप्यूटर तथा 50 पोर्टेबल कंप्यूटर उत्पादित करने चाहिए।
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निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत
x + 3y $\leq$ 60 ...(i)
x + y $\geq$ 10 ...(ii)
x $\leq$ y ...(iii)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(iv)
Z = 3x + 9y का न्यूनतम और अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।