एक गुब्बारा, जो सदैव गोलाकार रहता है, का परिवर्तनशील व्यास $\frac{3}{2}(2x + 1)$ है। $x$ के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए।
Exercise-6.1-13
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दिया है, गुब्बारे का व्यास $= \frac{3}{2}(2x + 1)$
$\therefore$ त्रिज्या $=$
$= \frac{1}{2}\left[\frac{3}{2}(2 x+1)\right] = \frac{3}{4}(2x + 1)$
$\therefore V = \frac{4}{3} \pi ($त्रिज्या$)^{3 }= \frac{4}{3}\pi \left[\frac{3}{4}(2 x+1)\right]^{3} \Rightarrow V = \frac{9 \pi}{16} (2x + 1)^3$
आयतन के परिवर्तन की दर के लिए, $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d V}{d x} = \frac{9 \pi}{16} \times 3(2x + 1)^2 \times 2 = \frac{27 \pi}{8} (2x + 1)^2$
अतः, आयतन के परिवर्तन की दर $\frac{27 \pi}{8} (2x + 1)^{2 }$ है।
$\therefore$ त्रिज्या $=$
$= \frac{1}{2}\left[\frac{3}{2}(2 x+1)\right] = \frac{3}{4}(2x + 1)$$\therefore V = \frac{4}{3} \pi ($त्रिज्या$)^{3 }= \frac{4}{3}\pi \left[\frac{3}{4}(2 x+1)\right]^{3} \Rightarrow V = \frac{9 \pi}{16} (2x + 1)^3$
आयतन के परिवर्तन की दर के लिए, $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d V}{d x} = \frac{9 \pi}{16} \times 3(2x + 1)^2 \times 2 = \frac{27 \pi}{8} (2x + 1)^2$
अतः, आयतन के परिवर्तन की दर $\frac{27 \pi}{8} (2x + 1)^{2 }$ है।
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