एक नाव $10$ घंटे में धारा के प्रतिकूल $30 \ km$ तथा धारा के अनुकूल $44 \ km$ जाती है। $13$ घंटे में वह $40 \ km$ धारा के प्रतिकूल एवं $55 \ km$ धारा के अनुकूल जाती है। धारा की चाल तथा नाव की स्थिर पानी में चाल ज्ञात कीजिए।
EXAMPLE-19
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माना नाव की स्थिर जल में चाल $x \ km/h$ है तथा धारा की चाल $y \ km/h$ है। साथ ही, नाव की धारा के अनुकूल चाल $= (x + y) \ km/h$ तथा नाव की धारा के प्रतिकूल चाल $= (x-y) \ km/h$ होगी।
साथ ही,
समय
प्रथम स्थिति में, जब नाव $30 \ km$ धारा के प्रतिकूल चलती है, माना घंटों में लिया गया समय $t_1$ है। तब
$t_{1 }= \frac{30}{(x-y)}$
माना $t_2$ घंटों में वह समय है जिसमें नाव $44 \ km$ धारा के अनुकूल चलती है।
तब, $t_{2 }= \frac{44}{x+y}$ है। कुल लगा समय $t_{1 }+ t_2, 10$ घंटा है।
अतः, हमें समीकरण मिलता है:
$\frac{30}{x-y}+\frac{44}{x+y} = 10 ...(i)$
दूसरी स्थिति में, $13$ घंटों में वह $40 \ km$ धारा के प्रतिकूल और $55 \ km$ धारा के अनुकूल चलती है।
हम इससे समीकरण प्राप्त करते हैं:
$\frac{40}{x-y}+\frac{55}{x+y} = 13 ...(ii)$
$\frac{1}{x-y} = u$ और $\frac{1}{x+y} = v$ रखिए। $...(iii)$
इन मानों को समीकरण $(i)$ और $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर, हम रैखिक समीकरणों का निम्न युग्म प्राप्त करते हैं:
$30u + 44v = 10$ या $30u + 44v - 10 = 0 ...(iv)$
$40u + 55v = 13$ या $40u + 55v - 13 = 0 ...(v)$
वज्र-गुणन विधि प्रयोग करने पर, हम पाते हैं:
$\frac{u}{44(-13)-55(-10)} = \frac{v}{40(-10)-30(-13)} = \frac{1}{30(55)-44(40)}$
अर्थात् $\frac{u}{-22}=\frac{v}{-10}=\frac{1}{-110}$
अर्थात् $u = \frac{1}{5}, v = \frac{1}{11}$
अब $u, v$ के इन मानों को समीकरणों $(iii)$ में रखने पर, हम पाते हैं:
$\frac{1}{x-y}=\frac{1}{5}$ और $\frac{1}{x+y}=\frac{1}{11}$
अर्थात् $x - y = 5$ और $x + y = 11 ...(vi)$
इन समीकरणों को जोड़ने पर, हम पाते हैं:
$2x = 16$
अर्थात् $x = 8$
$(vi)$ में दी हुई समीकरणों को घटाने पर, हम पाते हैं:
$2y = 6$
अर्थात् $y = 3$
अतः, नाव की स्थिर जल में चाल $8 \ km/h$ तथा धारा की चाल $3 \ km/h$ है।
साथ ही,
समय
प्रथम स्थिति में, जब नाव $30 \ km$ धारा के प्रतिकूल चलती है, माना घंटों में लिया गया समय $t_1$ है। तब
$t_{1 }= \frac{30}{(x-y)}$
माना $t_2$ घंटों में वह समय है जिसमें नाव $44 \ km$ धारा के अनुकूल चलती है।
तब, $t_{2 }= \frac{44}{x+y}$ है। कुल लगा समय $t_{1 }+ t_2, 10$ घंटा है।
अतः, हमें समीकरण मिलता है:
$\frac{30}{x-y}+\frac{44}{x+y} = 10 ...(i)$
दूसरी स्थिति में, $13$ घंटों में वह $40 \ km$ धारा के प्रतिकूल और $55 \ km$ धारा के अनुकूल चलती है।
हम इससे समीकरण प्राप्त करते हैं:
$\frac{40}{x-y}+\frac{55}{x+y} = 13 ...(ii)$
$\frac{1}{x-y} = u$ और $\frac{1}{x+y} = v$ रखिए। $...(iii)$
इन मानों को समीकरण $(i)$ और $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर, हम रैखिक समीकरणों का निम्न युग्म प्राप्त करते हैं:
$30u + 44v = 10$ या $30u + 44v - 10 = 0 ...(iv)$
$40u + 55v = 13$ या $40u + 55v - 13 = 0 ...(v)$
वज्र-गुणन विधि प्रयोग करने पर, हम पाते हैं:
$\frac{u}{44(-13)-55(-10)} = \frac{v}{40(-10)-30(-13)} = \frac{1}{30(55)-44(40)}$
अर्थात् $\frac{u}{-22}=\frac{v}{-10}=\frac{1}{-110}$
अर्थात् $u = \frac{1}{5}, v = \frac{1}{11}$
अब $u, v$ के इन मानों को समीकरणों $(iii)$ में रखने पर, हम पाते हैं:
$\frac{1}{x-y}=\frac{1}{5}$ और $\frac{1}{x+y}=\frac{1}{11}$
अर्थात् $x - y = 5$ और $x + y = 11 ...(vi)$
इन समीकरणों को जोड़ने पर, हम पाते हैं:
$2x = 16$
अर्थात् $x = 8$
$(vi)$ में दी हुई समीकरणों को घटाने पर, हम पाते हैं:
$2y = 6$
अर्थात् $y = 3$
अतः, नाव की स्थिर जल में चाल $8 \ km/h$ तथा धारा की चाल $3 \ km/h$ है।
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