कल्पना कीजिए कि $5\%$ पुरुषों और $0.25\%$ महिलाओं के बाल सफेद हैं। एक सफेद बालों वाले व्यक्ति को यादृच्छिक चुना गया है। इस व्यक्ति के पुरुष होने की प्रायिकता क्या है? यह मान लें कि पुरुषों और महिलाओं की संख्या समान है।
Miscellaneous Exercise-3
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मान लीजिए घटना $E$ 'चुना गया व्यक्ति एक पुरुष है' तथा $E_2$ घटना 'चुना गया व्यक्ति एक महिला है' को निरूपित करता है अतः $E_1$ तथा $E_2$ परस्पर अपवर्जी तथा परिपूर्ण घटनाएँ हैं।
और $P\left(E_{1}\right) = P\left(E_{2}\right) = \frac{1}{2}$
मान लीजिए घटना $E$ "चुना गया व्यक्ति सफेद बालों वाला है" को निरूपित करता है।
$ \therefore P\left(\frac{E}{E_{1}}\right) = \frac{5}{100} = \frac{1}{20}$ तथा $P\left(\frac{E}{E_{2}}\right)$
$= \frac{025}{100}$
$= \frac{1}{400}$ बेज प्रमेय के प्रयोग से,
अभीष्ट प्रायिकता $= P\left(\frac{E_{1}}{E}\right)$
$=\frac{P\left(\frac{E}{E_{1}}\right) P\left(E_{1}\right)}{P\left(\frac{E}{E_{1}}\right) P\left(E_{1}\right)+P\left(\frac{E}{E_{2}}\right) P\left(E_{2}\right)}$
$=\frac{\frac{1}{20} \times \frac{1}{2}}{\frac{1}{20} \times \frac{1}{2}+\frac{1}{400} \times \frac{1}{2}}$
$= \frac{\frac{1}{20}}{\frac{1}{20}+\frac{1}{400}}$
$= \frac{\frac{1}{20}}{\frac{21}{400}}$
$= \frac{20}{21}$
और $P\left(E_{1}\right) = P\left(E_{2}\right) = \frac{1}{2}$
मान लीजिए घटना $E$ "चुना गया व्यक्ति सफेद बालों वाला है" को निरूपित करता है।
$ \therefore P\left(\frac{E}{E_{1}}\right) = \frac{5}{100} = \frac{1}{20}$ तथा $P\left(\frac{E}{E_{2}}\right)$
$= \frac{025}{100}$
$= \frac{1}{400}$ बेज प्रमेय के प्रयोग से,
अभीष्ट प्रायिकता $= P\left(\frac{E_{1}}{E}\right)$
$=\frac{P\left(\frac{E}{E_{1}}\right) P\left(E_{1}\right)}{P\left(\frac{E}{E_{1}}\right) P\left(E_{1}\right)+P\left(\frac{E}{E_{2}}\right) P\left(E_{2}\right)}$
$=\frac{\frac{1}{20} \times \frac{1}{2}}{\frac{1}{20} \times \frac{1}{2}+\frac{1}{400} \times \frac{1}{2}}$
$= \frac{\frac{1}{20}}{\frac{1}{20}+\frac{1}{400}}$
$= \frac{\frac{1}{20}}{\frac{21}{400}}$
$= \frac{20}{21}$
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