30 बल्बों के एक ढ़ेर से, जिसमें 6 बल्ब खराब हैं 4 बल्बों का एक नमूना (प्रतिदर्श) यादृच्छया बिना प्रतिस्थापना के निकाला जाता है! खराब बल्बों की संख्या का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए।
Exercise-13.4-6
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दिया गया है, 30 बल्बों के ढेर में 6 बल्ब खराब हैं।
सही बल्बों की संख्या = 30 - 6 = 24
क्योंकि 4 बल्बों का नमूना (प्रतिदर्श) प्रतिस्थापना के साथ निकाला जाता है।
मान लीजिए p = P(जब एक बल्ब निकाला जाता है, तो उसका खराब प्राप्त होना)
= $\frac{6}{30}$$=\frac{1}{5}$
q = P(जब एक बल्ब निकला जाता है तो उसका सही प्राप्त होना)
= $\frac{24}{30}$$=\frac{4}{5}$
P(X = 0) = P(नमूना/प्रतिदर्श में कोई भी बल्ब खराब न होना)
= $ { }^{4} C_{0} p^{0} q^{4}$$=\left(\frac{4}{5}\right)^{4}$$=\frac{256}{625}$ (द्विपद बंटन के प्रयोग से)
P(X = 1) = P(नमूना/प्रतिदर्श में एक बल्ब खराब होना)
= $ { }^{4} \mathrm{C}_{1} \mathrm{p}^{1} \mathrm{q}^{3}$$=4\left(\frac{1}{5}\right)\left(\frac{4}{5}\right)^{3}$$=\frac{256}{625}$ (द्विपद बंटन के प्रयोग से)
P(X = 2) = P(दो खराब तथा दो सही बल्ब को निकालना)
= $ { }^{4} C_{2} p^{2} q^{2}$$=6\left(\frac{1}{5}\right)^{2}\left(\frac{4}{5}\right)^{2}$$=\frac{96}{625}$ (द्विपद बंटन के प्रयोग से)
P(X = 3) = P(तीन खराब तथा एक सही बल्ब निकालना)
= ${ }^{4} C_{3} p^{3} q^{1}$$=4\left(\frac{1}{5}\right)^{3}\left(\frac{4}{5}\right)$$=\frac{16}{625}$ (द्विपद बंटन के प्रयोग से)
P(X = 4) = P(चारों बल्बों को खराब निकालना) = ${ }^{4} C_{4} p^{4} q^{0}$
= $1\left(\frac{1}{5}\right)^{4}\left(\frac{4}{5}\right)^{0}$$=\frac{1}{625}$
अतः अभीष्ट प्रायिकता बंटन निम्नवत् है
सही बल्बों की संख्या = 30 - 6 = 24
क्योंकि 4 बल्बों का नमूना (प्रतिदर्श) प्रतिस्थापना के साथ निकाला जाता है।
मान लीजिए p = P(जब एक बल्ब निकाला जाता है, तो उसका खराब प्राप्त होना)
= $\frac{6}{30}$$=\frac{1}{5}$
q = P(जब एक बल्ब निकला जाता है तो उसका सही प्राप्त होना)
= $\frac{24}{30}$$=\frac{4}{5}$
P(X = 0) = P(नमूना/प्रतिदर्श में कोई भी बल्ब खराब न होना)
= $ { }^{4} C_{0} p^{0} q^{4}$$=\left(\frac{4}{5}\right)^{4}$$=\frac{256}{625}$ (द्विपद बंटन के प्रयोग से)
P(X = 1) = P(नमूना/प्रतिदर्श में एक बल्ब खराब होना)
= $ { }^{4} \mathrm{C}_{1} \mathrm{p}^{1} \mathrm{q}^{3}$$=4\left(\frac{1}{5}\right)\left(\frac{4}{5}\right)^{3}$$=\frac{256}{625}$ (द्विपद बंटन के प्रयोग से)
P(X = 2) = P(दो खराब तथा दो सही बल्ब को निकालना)
= $ { }^{4} C_{2} p^{2} q^{2}$$=6\left(\frac{1}{5}\right)^{2}\left(\frac{4}{5}\right)^{2}$$=\frac{96}{625}$ (द्विपद बंटन के प्रयोग से)
P(X = 3) = P(तीन खराब तथा एक सही बल्ब निकालना)
= ${ }^{4} C_{3} p^{3} q^{1}$$=4\left(\frac{1}{5}\right)^{3}\left(\frac{4}{5}\right)$$=\frac{16}{625}$ (द्विपद बंटन के प्रयोग से)
P(X = 4) = P(चारों बल्बों को खराब निकालना) = ${ }^{4} C_{4} p^{4} q^{0}$
= $1\left(\frac{1}{5}\right)^{4}\left(\frac{4}{5}\right)^{0}$$=\frac{1}{625}$
अतः अभीष्ट प्रायिकता बंटन निम्नवत् है
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |
| P(X) | $\frac{256}{625}$ | $\frac{256}{625}$ | $\frac{96}{625}$ | $\frac{16}{625}$ | $\frac{1}{625}$ |
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