एक कारखाने में $A$ और $B$ दो मशीनें लगी हैं। पूर्व विवरण से पता चलता है कि कुल उत्पादन का $60\%$ मशीन $A$ और $40\%$ मशीन $B$ द्वारा किया जाता है। इसके अतिरिक्त मशीन $A$ का $2\%$ और मशीन $B$ का $1\%$ उत्पादन खराब है। यदि कुल उत्पादन का एक ढेर बना लिया जाता है और उस ढेर से यादृच्छया निकाली गई वस्तु खराब हो, तो इस वस्तु के 'मशीन $A$ द्वारा बने होने की प्रायिकता क्या होगी$?$
Exercise-13.3-8
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मान लीजिए घटना $E_1$ मशीन $A$ द्वारा उत्पादित वस्तु है तथा घटना $E_2$ मशीन $B$ द्वारा उत्पादित वस्तु है को निरूपित करता है। $E_1$ तथा $E_2$ परस्पर अपवर्जी तथा परिपूर्ण घटनाएँ है और
$P(E_1) = 60\% = \frac{60}{100} = \frac{3}{5}$
$ P(E_2) = 40\% = \frac{40}{100} = \frac{2}{5}$
तथा मान लीजिए घटना $E$ 'वस्तु खराब है' को दर्शाता है
$\therefore P\left(\frac{E}{E_{1}}\right) = P($खराब वस्तु के मशीन $A$ द्वारा उत्पादित होने की$) = 2\% = \frac{2}{100}$
$P\left(\frac{E}{E_{2}}\right) = P$(खराब वस्तु के मशीन $B$ द्वारा उत्पादित होने की$) = 1\% = \frac{1}{100}$
यादृच्छया निकाली गई वस्तु के मशीन $B$ द्वारा उत्पादित होने की प्रायिकता को $P\left(\frac{E_{2}}{E}\right)$ द्वारा निरूपित करते हैं जबकि वस्तु खराब है।
बेज प्रमेय के प्रयोग से,$ P \left(\frac{E_{2}}{E}\right)=\frac{P\left(\frac{E}{E_{2}}\right) P\left(E_{2}\right)}{P\left(\frac{E}{E_{1}}\right) P\left(E_{1}\right)+P\left(\frac{E}{E_{2}}\right) P\left(E_{2}\right)}$
$= \frac{\frac{1}{100} \times \frac{2}{5}}{\frac{2}{100} \times \frac{3}{5}+\frac{1}{100} \times \frac{2}{5}}$
$= \frac{\frac{2}{500}}{\frac{6}{500}+\frac{2}{500}}$
$= \frac{2}{6+2}$
$=\frac{2}{8}$
$= \frac{1}{4}$
$P(E_1) = 60\% = \frac{60}{100} = \frac{3}{5}$
$ P(E_2) = 40\% = \frac{40}{100} = \frac{2}{5}$
तथा मान लीजिए घटना $E$ 'वस्तु खराब है' को दर्शाता है
$\therefore P\left(\frac{E}{E_{1}}\right) = P($खराब वस्तु के मशीन $A$ द्वारा उत्पादित होने की$) = 2\% = \frac{2}{100}$
$P\left(\frac{E}{E_{2}}\right) = P$(खराब वस्तु के मशीन $B$ द्वारा उत्पादित होने की$) = 1\% = \frac{1}{100}$
यादृच्छया निकाली गई वस्तु के मशीन $B$ द्वारा उत्पादित होने की प्रायिकता को $P\left(\frac{E_{2}}{E}\right)$ द्वारा निरूपित करते हैं जबकि वस्तु खराब है।
बेज प्रमेय के प्रयोग से,$ P \left(\frac{E_{2}}{E}\right)=\frac{P\left(\frac{E}{E_{2}}\right) P\left(E_{2}\right)}{P\left(\frac{E}{E_{1}}\right) P\left(E_{1}\right)+P\left(\frac{E}{E_{2}}\right) P\left(E_{2}\right)}$
$= \frac{\frac{1}{100} \times \frac{2}{5}}{\frac{2}{100} \times \frac{3}{5}+\frac{1}{100} \times \frac{2}{5}}$
$= \frac{\frac{2}{500}}{\frac{6}{500}+\frac{2}{500}}$
$= \frac{2}{6+2}$
$=\frac{2}{8}$
$= \frac{1}{4}$
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