मान लीजिए कि X का बंटन B (6, $ \frac{1}{2}$) द्विपद बंटन है। दर्शाएँ कि X = 3 अधिकतम प्रायिकता वाला परिणाम है।
Exercise-13.5-8
Download our app for free and get started
X एक यादृच्छिक चर है जिसका द्विपद बंटन B$\left(6, \frac{1}{2}\right)$ है।
अतः n = 6 तथा p = $\frac{1}{2}$ तथा q = 1 - p = 1 - $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{2}$
तब, P(X = r) = $ { }^{6} C_{r}$$ \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{t}$$\left(\frac{1}{2}\right)^{6-r}$
यहाँ, P(X = 0) = $ { }^{6} C_{0} p^{0} q^{6}$ = ${ }^{6} C_{0}\left(\frac{1}{2}\right)^{6}$ = $\frac{1}{2^{6}}$ = $\frac{1}{64}$
P(X = 1) = ${ }^{6} C_{1} p^{1} q^{5}$ = $6\left(\frac{1}{2}\right)$$\left(\frac{1}{2}\right)^{5}$= $6\left(\frac{1}{2^{6}}\right)$ = $\frac{6}{64}$
P(X = 2) = $ { }^{6} C_{2} p^{2} q^{4}$ = $\frac{6 \times 5}{1 \times 2}$$ \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$\left(\frac{1}{2}\right)^{4}$ = $\frac{15}{64}$
P(X = 3) = ${ }^{6} C_{3} p^{3} q^{3}$ = $\frac{6 \times 5 \times 4}{1 \times 2 \times 3}$$\left(\frac{1}{2}\right)^{3}$$\left(\frac{1}{2}\right)^{3}$ = $\frac{20}{64}$
P(X = 4) =$ { }^{6} C_{4} p^{4} q^{2}$ = ${ }^{6} C_{2}$$\left(\frac{1}{2}\right)^{4}$$\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$= $\frac{15}{64}$
P(X = 5) = ${ }^{6} C_{5} p^{5} q^{1}$ = ${ }^{6} C_{1}$$\left(\frac{1}{2}\right)^{5}$$\left(\frac{1}{2}\right)^{1}$=$\frac{6}{64}$
तथा P(X = 6) = $ { }^{6} C_{6} p^{6} q^{0}$ = $1 \times$$\left(\frac{1}{2}\right)^{6}$= $\frac{1}{64}$
यह स्पष्ट हैं कि सभी परिणामों में $\frac{20}{64}$ अधिकतम मान है। अतः X = 3 अधिकतम प्रायिकता वाला परिणाम है।
अतः n = 6 तथा p = $\frac{1}{2}$ तथा q = 1 - p = 1 - $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{2}$
तब, P(X = r) = $ { }^{6} C_{r}$$ \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{t}$$\left(\frac{1}{2}\right)^{6-r}$
यहाँ, P(X = 0) = $ { }^{6} C_{0} p^{0} q^{6}$ = ${ }^{6} C_{0}\left(\frac{1}{2}\right)^{6}$ = $\frac{1}{2^{6}}$ = $\frac{1}{64}$
P(X = 1) = ${ }^{6} C_{1} p^{1} q^{5}$ = $6\left(\frac{1}{2}\right)$$\left(\frac{1}{2}\right)^{5}$= $6\left(\frac{1}{2^{6}}\right)$ = $\frac{6}{64}$
P(X = 2) = $ { }^{6} C_{2} p^{2} q^{4}$ = $\frac{6 \times 5}{1 \times 2}$$ \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$\left(\frac{1}{2}\right)^{4}$ = $\frac{15}{64}$
P(X = 3) = ${ }^{6} C_{3} p^{3} q^{3}$ = $\frac{6 \times 5 \times 4}{1 \times 2 \times 3}$$\left(\frac{1}{2}\right)^{3}$$\left(\frac{1}{2}\right)^{3}$ = $\frac{20}{64}$
P(X = 4) =$ { }^{6} C_{4} p^{4} q^{2}$ = ${ }^{6} C_{2}$$\left(\frac{1}{2}\right)^{4}$$\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$= $\frac{15}{64}$
P(X = 5) = ${ }^{6} C_{5} p^{5} q^{1}$ = ${ }^{6} C_{1}$$\left(\frac{1}{2}\right)^{5}$$\left(\frac{1}{2}\right)^{1}$=$\frac{6}{64}$
तथा P(X = 6) = $ { }^{6} C_{6} p^{6} q^{0}$ = $1 \times$$\left(\frac{1}{2}\right)^{6}$= $\frac{1}{64}$
यह स्पष्ट हैं कि सभी परिणामों में $\frac{20}{64}$ अधिकतम मान है। अतः X = 3 अधिकतम प्रायिकता वाला परिणाम है।
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1एक विशेष समस्या को A और B द्वारा स्वतंत्र रूप से हल करने की प्रायिकताएँ क्रमशः $\frac{1}{2}$ और $ \frac{1}{3}$ हैं। यदि दोनों, स्वतंत्र रूप से समस्या हल करने का प्रयास करते है, तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए किView Solution
- समस्या हल हो जाती हैं।
- उनमें से तथ्यतः कोई एक समस्या हल कर लेता है।
- 2View Solutionएक सिक्का समसर्वय संतुलित नहीं है जिसमें चित प्रकट होने की संभावना पट प्रकट होने की संभावना की तीन गुनी है। यदि सिक्का दो बार उछाला जाता है, तो पटों की संख्या का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए?
- 3View Solutionप्रथम छ: धन पूर्णांकों में से दो संख्याएँ यादृच्छया (बिना प्रतिस्थापन) चुनी गई। मान ले X दोनों संख्याओं में से बड़ी संख्या को व्यक्त करता है। E(X) ज्ञात कीजिए।
- 4View Solutionएक पासे को तीन बार उछालने के परीक्षण में घटना A तथा B को निम्न प्रकार से परिभाषित किया गया है:
A: तीसरी उछाल पर संख्या 4 प्रकट होना
B: पहली उछाल पर संख्या 6 और दूसरी उछाल पर संख्या 5 प्रकट होना
यदि B का घटित होना दिया गया है, तो घटना A की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। - 5View Solutionतीन सिक्कों को उछाला गया है। मान लें E घटना तीन चित या तीन पट प्राप्त होना और F घटना न्यूनतम दो चित प्राप्त होना और G घटना अधिकतम दो पट प्राप्त होना को निरूपित करते हैं। युग्म (E, F), (E, G) और (F, G) में कौन-कौन से स्वतंत्र हैं? कौन-कौन से पराश्रित हैं?
- 6View Solutionएक खेल में किसी व्यक्ति को एक न्याय्य पासे को उछालने के बाद छः प्रकट होने पर एक रुपया मिलता है और अन्य कोई संख्या प्रकट होने पर वह एक रुपया हार जाता है। एक व्यक्ति यह निर्णय लेता है कि वह पासे को तीन बार फेंकेगा लेकिन जब भी छः प्राप्त होगा वह खेलना छोड़ देगा। उसके द्वारा जीती/हारी गई राशि की प्रत्याशा ज्ञात कीजिए।
- 7View Solutionएक प्रशिक्षक के पास 300 सत्य/असत्य प्रकार के आसान प्रश्न 200 सत्य/असत्य प्रकार के कठिन प्रश्न 500 बहु-विकल्पीय प्रकार के आसान प्रश्न और 400 बहु-विकल्पीय प्रकावर के कठिन प्रश्नों का संग्रह है। यदि प्रश्नों के संग्रह से एक प्रश्न यादृच्छया चुना जाता है, तो एक आसान प्रश्न की बहु-विकल्पीय होने की प्रायिकता क्या होगी?
- 8View Solutionएक प्रयोग के सफल होने का संयोग उसके असफल होने से दोगुना है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि अगले छः परीक्षणों में कम-से-कम 4 सफल होंगे।
- 9View SolutionA और B बारी-बारी से एक पासे को उछालते हैं जब तक कि उनमें से कोई एक पासे पर छः प्राप्त कर खेल को जीत नहीं लेता। यदि A खेल को शुरू करें तो उनके जीतने की क्रमशः प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
- 10View Solutionएक व्यक्ति एक सिक्के को तीन बार उछालने का खेल खेलता है। खेल के आयोजक द्वारा उस व्यक्ति को प्रत्येक चित के लिए ₹2 देता है और प्रत्येक पट के लिए वह व्यक्ति आयोजक को ₹1.50 देता है। मान लें X व्यक्ति द्वारा जीती गई या हारी गई राशि को व्यक्त करता है। दर्शाएँ कि X एक यादृच्छिक चर है और इसे परीक्षण के प्रतिदर्श समष्टि के फलन के रूप में प्रदर्शित कीजिए।