रेखाओं l_1 और l_2 के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए जिनके सदिश समीकरण है: $\vec{r}=\hat{i}+\hat{j}+\lambda(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) ...(i)$ और $\vec{r}=2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}+\mu(3 \hat{i}-5 \hat{j}+2 \hat{k}) ...(ii)$
example-11
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$\vec{r}=\hat{i}+\hat{j}+\lambda(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) ...(i)$
और $\vec{r}=2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}+\mu(3 \hat{i}-5 \hat{j}+2 \hat{k}) ...(ii)$
समीकरण $(i)$ व $(ii)$ की $\vec{r}=\vec{a}_{1}+\lambda \vec{b}_{1}$ और $\vec{r}=\vec{a}_{2}+\mu \vec{b}_{2}$, से तुलना करने पर हम पाते हैं कि $\vec{a}_{1}=\hat{i}+\hat{j}, \vec{b}_{1}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$
$\vec{a}_{2}=2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ और $\vec{b}_{2}=3 \hat{i}-5 \hat{j}+2 \hat{k}$
इसलिए $\vec{a}_{2}-\vec{a}_{1}=\hat{i}-\hat{k}$ और $\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2} = (2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) \times(3 \hat{i}-5 \hat{j}+2 \hat{k})$
$=\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & -5 & 2 \end{array}\right|=3 \hat{i}-\hat{j}-7 \hat{k}$
इस प्रकार $\left|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}\right|$
$=\sqrt{9+1+49}$
$=\sqrt{59}$
इसलिए दी गई रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी
$d = \left|\frac{\left(\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}\right) \cdot\left(\vec{a}_{2}-\vec{a}_{1}\right)}{\left|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}\right|}\right|$
$=\frac{|3-0+7|}{\sqrt{59}}$
$=\frac{10}{\sqrt{59}}$
और $\vec{r}=2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}+\mu(3 \hat{i}-5 \hat{j}+2 \hat{k}) ...(ii)$
समीकरण $(i)$ व $(ii)$ की $\vec{r}=\vec{a}_{1}+\lambda \vec{b}_{1}$ और $\vec{r}=\vec{a}_{2}+\mu \vec{b}_{2}$, से तुलना करने पर हम पाते हैं कि $\vec{a}_{1}=\hat{i}+\hat{j}, \vec{b}_{1}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$
$\vec{a}_{2}=2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ और $\vec{b}_{2}=3 \hat{i}-5 \hat{j}+2 \hat{k}$
इसलिए $\vec{a}_{2}-\vec{a}_{1}=\hat{i}-\hat{k}$ और $\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2} = (2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) \times(3 \hat{i}-5 \hat{j}+2 \hat{k})$
$=\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & -5 & 2 \end{array}\right|=3 \hat{i}-\hat{j}-7 \hat{k}$
इस प्रकार $\left|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}\right|$
$=\sqrt{9+1+49}$
$=\sqrt{59}$
इसलिए दी गई रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी
$d = \left|\frac{\left(\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}\right) \cdot\left(\vec{a}_{2}-\vec{a}_{1}\right)}{\left|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}\right|}\right|$
$=\frac{|3-0+7|}{\sqrt{59}}$
$=\frac{10}{\sqrt{59}}$
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