$f(x) = x^3 - 3x + 3$ द्वारा प्रदत्त फलन के लिए स्थानीय उच्चतम और स्थानीय निम्नतम के सभी बिंदुओं को ज्ञात कीजिए।
EXAMPLE-29
Download our app for free and get started
यहाँ $f(x) = x^{3 }- 3x + 3$
या $f^{\prime}(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1) (x + 1)$
या $f^{\prime}(x) = 0 \Rightarrow x = 1$ और $x = - 1$
इस प्रकार, केवल $x = \pm 1$ ही ऐसे क्रांतिक बिंदु हैं जो $f$ के स्थानीय उच्चतम और/या स्थानीय निम्नतम संभावित बिंदु हो सकते हैं। पहले हम $x = 1$ पर परीक्षण करते हैं।
ध्यान दीजिए कि $1$ के निकट और $1$ के दायीं ओर $f^{\prime}(x) > 0$ है और $1$ के निकट और $1$ के बायीं ओर $f^{\prime}(x) < 0$ है। इसलिए प्रथम अवकलज परीक्षण द्वारा $x = 1,$ स्थानीय निम्नतम बिंदु है और स्थानीय निम्नतम मान $f(1) = 1$ है।
$x = - 1$ की दशा में, $- 1$ के निकट और $- 1$ के बायीं ओर $f^{\prime}(x) > 0$ और $- 1$ के निकट और $- 1$ के दायीं ओर $f^{\prime}(x) < 0$ है। इसलिए प्रथम अवकलज परीक्षण द्वारा $x = - 1$ स्थानीय उच्चतम का बिंदु है और स्थानीय उच्चतम मान $f(- 1) = 5$ है।
या $f^{\prime}(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1) (x + 1)$
या $f^{\prime}(x) = 0 \Rightarrow x = 1$ और $x = - 1$
इस प्रकार, केवल $x = \pm 1$ ही ऐसे क्रांतिक बिंदु हैं जो $f$ के स्थानीय उच्चतम और/या स्थानीय निम्नतम संभावित बिंदु हो सकते हैं। पहले हम $x = 1$ पर परीक्षण करते हैं।
ध्यान दीजिए कि $1$ के निकट और $1$ के दायीं ओर $f^{\prime}(x) > 0$ है और $1$ के निकट और $1$ के बायीं ओर $f^{\prime}(x) < 0$ है। इसलिए प्रथम अवकलज परीक्षण द्वारा $x = 1,$ स्थानीय निम्नतम बिंदु है और स्थानीय निम्नतम मान $f(1) = 1$ है।
$x = - 1$ की दशा में, $- 1$ के निकट और $- 1$ के बायीं ओर $f^{\prime}(x) > 0$ और $- 1$ के निकट और $- 1$ के दायीं ओर $f^{\prime}(x) < 0$ है। इसलिए प्रथम अवकलज परीक्षण द्वारा $x = - 1$ स्थानीय उच्चतम का बिंदु है और स्थानीय उच्चतम मान $f(- 1) = 5$ है।
| $x$ के मान | $f^{\prime}(x) = 3(x -1)(x + 1)$ का चिह्न |
$1$के निकट  |
$>0$ $<0$ |
$- 1$के निकट  |
$>0$ $<0$ |
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1ऐसी दो धन संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग $16$ हो और जिनके घनों का योग निम्नतम हो।View Solution
- 2वक्र $x^{2 }= 4y$ के किसी बिंदु पर अभिलंब का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदु $(1, 2)$ से होकर जाता है।View Solution
- 3निम्नलिखित में से किस अंतराल में $y = x^2 e^{-x}$ वर्धमान है?View Solution
- 4वक्र $y = \cos (x + y), -2 \pi \leq x \leq 2 \pi$, की उन सभी स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा $x + 2y = 0$ के समांतर हैं।View Solution
- 5एक पाइप से रेत $12 \ cm^3/s$ की दर से गिर रही है। गिरती रेत जमीन पर एक ऐसा शंकु बनाती है जिसकी ऊँचाई सदैव आधार की त्रिज्या का छठा भाग है। रेत से बने के शंकु की ऊँचाई किस दर से बढ़ रही है जबकि ऊँचाई $4 \ cm$ है?View Solution
- 6वक्र $y = x^{3 }+ 2x + 6$ के उन अभिलंबो के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा $x + 14y + 4 = 0$ के समांतर है।View Solution
- 7सिद्ध कीजिए कि प्रदत्त फलन f(x) = cos x (0, $\pi$) में ह्यसमान है।View Solution
- 8किसी वस्तु की $x$ इकाइयों के उत्पादन में कुल लागत $C(x)$ रुपये में $C(x) = 0.005 x^3 - 0.02 x^2+ 30x + 5000$ से प्रदत्त है। सीमांत लागत ज्ञात कीजिए जब $3$ इकाई उत्पादित की जाती है। जहाँ सीमांत लागत $($marginal cost या $MC)$ से हमारा अभिप्राय किसी स्तर पर उत्पादन के संपूर्ण लागत में तात्कालिक परिवर्तन की दर से है।View Solution
- 9प्रवणता $- 1$ वाली सभी रेखाओं का समीकरण ज्ञात कीजिए जो वक्र $y = \frac{1}{x-1}, x \neq - 1$ को स्पर्श करती है।View Solution
- 10g(x) = $\frac{1}{x^{2}+2}$ के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हों तो, ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम मान, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।View Solution