$f(x) = 9x^{2 }+ 12x + 2$ के उच्चतम या निम्नतम मान, यदि कोई तो, ज्ञात कीजिए।
Exercise-6.5-1(2)
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दिया गया फलन $f(x) = 9x^2+ 12x + 2 = 9x^2 + 12x + 4 - 2 [$ पूर्ण वर्ग बनाने के लिए हम $2$ जोड़ते और घटाते हैं $]$
$= (9x^2 + 6x + 6x + 4) - 2$
$= [(3x)^2 + 2 \times 3x \times 2 + (2)^2] - 2$
$= [(3x + 2) (3x + 2)] - 2$
$= (3x + 2)^2 - 2$
यह पाया जाता है कि प्रत्येक $x \in R$ के लिए $(3x + 2)^2 \geq 0$
इसलिए प्रत्येक $x \in R$ के लिए $f(x)^{* }= (3x + 2)^2 - 2 \geq - 2$
f का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए
$3x + 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{-2}{3} $
$\therefore f$ का न्यूनतम मान $f = f\left(\frac{-2}{3}\right) = \left(3 \times \frac{-2}{3}+2\right)^{2} - 2 = - 2$
$x$ के प्रत्येक मान के लिए $f(x) \geq - 2$ है इसलिए फलन f का विशेष उच्चतम मान नहीं है।
$= (9x^2 + 6x + 6x + 4) - 2$
$= [(3x)^2 + 2 \times 3x \times 2 + (2)^2] - 2$
$= [(3x + 2) (3x + 2)] - 2$
$= (3x + 2)^2 - 2$
यह पाया जाता है कि प्रत्येक $x \in R$ के लिए $(3x + 2)^2 \geq 0$
इसलिए प्रत्येक $x \in R$ के लिए $f(x)^{* }= (3x + 2)^2 - 2 \geq - 2$
f का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए
$3x + 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{-2}{3} $
$\therefore f$ का न्यूनतम मान $f = f\left(\frac{-2}{3}\right) = \left(3 \times \frac{-2}{3}+2\right)^{2} - 2 = - 2$
$x$ के प्रत्येक मान के लिए $f(x) \geq - 2$ है इसलिए फलन f का विशेष उच्चतम मान नहीं है।
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