दिए गए वक्र x$ = a \sin^3 t, y = b \cos^3 t$ के एक बिंदु, जहाँ $t = \frac{\pi}{2}$ है, पर स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
EXAMPLE-20
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$x = a \sin^3 t, y = b \cos^3 t$
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर
या $\frac{d x}{d t} = 3a \sin^2 t \cos t$ तथा $\frac{d y}{d t} = - 3b \cos^{2 }t \sin t$
$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}}$
$= \frac{-3 b \cos ^{2} t \sin t}{3 a \sin ^{2} t \cos t}$ = $\frac{-b}{a} \frac{\cos t}{\sin t}$
जब $t = \frac{\pi}{2}$ तब $\left.\frac{d y}{d x}\right]_{t=\frac{\pi}{2}}$
$= \frac{-b \cos \frac{\pi}{2}}{a \sin \frac{\pi}{2}}= 0$
और जब $t = \frac{\pi}{2}$, तब $x = a$ तथा $y = 0$ है
अतः $t = \frac{\pi}{2}$ पर अर्थात् $(a, 0)$
पर दिए गए वक्र की स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 0 = 0 (x - a)$ अर्थात् $y = 0$ है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर
या $\frac{d x}{d t} = 3a \sin^2 t \cos t$ तथा $\frac{d y}{d t} = - 3b \cos^{2 }t \sin t$
$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}}$
$= \frac{-3 b \cos ^{2} t \sin t}{3 a \sin ^{2} t \cos t}$ = $\frac{-b}{a} \frac{\cos t}{\sin t}$
जब $t = \frac{\pi}{2}$ तब $\left.\frac{d y}{d x}\right]_{t=\frac{\pi}{2}}$
$= \frac{-b \cos \frac{\pi}{2}}{a \sin \frac{\pi}{2}}= 0$
और जब $t = \frac{\pi}{2}$, तब $x = a$ तथा $y = 0$ है
अतः $t = \frac{\pi}{2}$ पर अर्थात् $(a, 0)$
पर दिए गए वक्र की स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 0 = 0 (x - a)$ अर्थात् $y = 0$ है।
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