प्रवणता $0$ वाली सभी रेखाओं का समीकरण ज्ञात कीजिए जो वक्र $y = \frac{1}{x^{2}-2 x+3}$ को स्पर्श करती है।
Exercise-6.3-12
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दिए गए वक्र का समीकरण है, $y = \frac{1}{x^{2}-2 x+3} ...(i)$
दिए गए वक्र के किसी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता
$\frac{d y}{d x} = \frac{-1}{\left(x^{2}-2 x+3\right)^{2}} dx (x^2 - 2x + 3) $
$= \frac{-(2 x-2)}{\left(x^{2}-2 x+3\right)^{2}} = \frac{-2(x-1)}{\left(x^{2}-2 x+3\right)^{2}}$
अतः शून्य प्रवणता वाली स्पर्श रेखाओं के लिए $\frac{d y}{d x} = 0$
$\Rightarrow \frac{-2(x-1)}{\left(x^{2}-2 x+3\right)^{2}} = 0$
$ \Rightarrow - 2(x - 1) = 0$
$ \Rightarrow x = 1$
जब $x = 1,$ तो समी $(i)$ से, $y = \frac{1}{1^{2}-2 \times 1+3} = \frac{1}{2}$
दिए गए वक्र के बिंदु $\left(1, \frac{1}{2}\right)$ पर स्पर्श रेखा जिनकी प्रवणता $0$ है, का समीकरण निम्न है।
$y - \frac{1}{2} = 0(x - 1)$
$\Rightarrow y = \frac{1}{2}$
अतः, आवश्यक रेखा का समीकरण $y = \frac{1}{2}$ है।
दिए गए वक्र के किसी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता
$\frac{d y}{d x} = \frac{-1}{\left(x^{2}-2 x+3\right)^{2}} dx (x^2 - 2x + 3) $
$= \frac{-(2 x-2)}{\left(x^{2}-2 x+3\right)^{2}} = \frac{-2(x-1)}{\left(x^{2}-2 x+3\right)^{2}}$
अतः शून्य प्रवणता वाली स्पर्श रेखाओं के लिए $\frac{d y}{d x} = 0$
$\Rightarrow \frac{-2(x-1)}{\left(x^{2}-2 x+3\right)^{2}} = 0$
$ \Rightarrow - 2(x - 1) = 0$
$ \Rightarrow x = 1$
जब $x = 1,$ तो समी $(i)$ से, $y = \frac{1}{1^{2}-2 \times 1+3} = \frac{1}{2}$
दिए गए वक्र के बिंदु $\left(1, \frac{1}{2}\right)$ पर स्पर्श रेखा जिनकी प्रवणता $0$ है, का समीकरण निम्न है।
$y - \frac{1}{2} = 0(x - 1)$
$\Rightarrow y = \frac{1}{2}$
अतः, आवश्यक रेखा का समीकरण $y = \frac{1}{2}$ है।
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