$k$ के मान ज्ञात कीजिए, यदि बिंदु $A(k + 1, 2k), B(3k, 2k + 3)$ और $C(5k - 1, 5k)$ संरेख हैं।
Exercise-7.3-19
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दिए गए बिंदु $A(k + 1, 2k), B(3k, 2k + 3)$ और $C (5k - 1, 5k)$ हैं इसलिए, $x_1 = k + 1, y_1 = 2k, x_2 = 3k, y = 2k + 3$ और $x_3 = 5k - 1, y_3 = 5k$
चूंकि दिए गए बिंदु संरेख हैं, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य है।
इस प्रकार,
$x_1 (y_2 - y_3) + x_2 (y_3 - y_1) + x_3 (y_1 - y_2) = 0$
$x_1, x_2, x_3, y_1, y$ का मान रखने पर $2, y_3$_ उपरोक्त समीकरण में, हम प्राप्त करते हैं
$\Rightarrow (k + 1)(2k + 3 - 5k) + 3k(5k - 2k) + (5k - 1)[2k - (2k + 3)] = 0$
$ \Rightarrow (k + 1)(3 - 3k) + 3k \times 3k + (5k - 1) \times (-3) = 0$
$ \Rightarrow 3k - 3k^2 + 3 - 3k + 9k^2 - 15k + 3 = 0$
$ \Rightarrow 6k^2 - 15k + 6 = 0$
पूरे समीकरण को $3$ से विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं,
$2k^2 - 5k + 2 = 0$
$ \Rightarrow 2k^2- 4k - k + 2 =0$
$ \Rightarrow 2k(k - 2) - 1(k - 2) = 0$
$ \Rightarrow (k - 2)(2k - 1) = 0$
$ \Rightarrow k - 2 = 0 या 2k - 1 = 0$
$ \Rightarrow k = 2 या k = \frac{1}{2}$
इसलिए, $k = 2$ या $k = \frac{1}{2}$
चूंकि दिए गए बिंदु संरेख हैं, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य है।
इस प्रकार,
$x_1 (y_2 - y_3) + x_2 (y_3 - y_1) + x_3 (y_1 - y_2) = 0$
$x_1, x_2, x_3, y_1, y$ का मान रखने पर $2, y_3$_ उपरोक्त समीकरण में, हम प्राप्त करते हैं
$\Rightarrow (k + 1)(2k + 3 - 5k) + 3k(5k - 2k) + (5k - 1)[2k - (2k + 3)] = 0$
$ \Rightarrow (k + 1)(3 - 3k) + 3k \times 3k + (5k - 1) \times (-3) = 0$
$ \Rightarrow 3k - 3k^2 + 3 - 3k + 9k^2 - 15k + 3 = 0$
$ \Rightarrow 6k^2 - 15k + 6 = 0$
पूरे समीकरण को $3$ से विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं,
$2k^2 - 5k + 2 = 0$
$ \Rightarrow 2k^2- 4k - k + 2 =0$
$ \Rightarrow 2k(k - 2) - 1(k - 2) = 0$
$ \Rightarrow (k - 2)(2k - 1) = 0$
$ \Rightarrow k - 2 = 0 या 2k - 1 = 0$
$ \Rightarrow k = 2 या k = \frac{1}{2}$
इसलिए, $k = 2$ या $k = \frac{1}{2}$
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