केंद्र $O$ वाले एक वृत्त पर एक बाहरी बिंदु से दो स्पर्श रेखाएँ $PQ$ और $PR$ खींची गई हैं। सिद्ध कीजिए कि $\text{QORP}$ एक चक्रीय चतुर्भुज है।
Exercise-9.3-2
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दिया गया है: बाहरी बिंदु $P$ से केंद्र $O$ वाले वृत्त पर
स्पर्श रेखाएँ $PR$ और $PQ।$ सिद्ध करने के लिए: चतुर्भुज $\text{QORP}$ चक्रीय है।
प्रमाण: $RO$ और $RP$ संपर्क बिंदु $R$ पर क्रमशः त्रिज्या और स्पर्शरेखा हैं।
इसलिए,$ \angle PRO = 90^\circ$
इसी प्रकार $\angle PQO = 90^\circ$
चतुर्भुज $\text{QORP}$ में, हमारे पास है
$\angle P + \angle R + \angle O + \angle Q = 360^\circ$
$\Rightarrow \angle P + \angle 90^\circ + \angle O + \angle 90^\circ = 360^\circ$
$\Rightarrow \angle P + \angle O = 360^\circ - 180^\circ = 180^\circ$
ये चतुर्भुज $\text{QORP}$ के सम्मुख कोण हैं और पूरक हैं।
इसलिए, चतुर्भुज $\text{QORP}$ चक्रीय है।
स्पर्श रेखाएँ $PR$ और $PQ।$ सिद्ध करने के लिए: चतुर्भुज $\text{QORP}$ चक्रीय है।
प्रमाण: $RO$ और $RP$ संपर्क बिंदु $R$ पर क्रमशः त्रिज्या और स्पर्शरेखा हैं।
इसलिए,$ \angle PRO = 90^\circ$
इसी प्रकार $\angle PQO = 90^\circ$
चतुर्भुज $\text{QORP}$ में, हमारे पास है
$\angle P + \angle R + \angle O + \angle Q = 360^\circ$
$\Rightarrow \angle P + \angle 90^\circ + \angle O + \angle 90^\circ = 360^\circ$
$\Rightarrow \angle P + \angle O = 360^\circ - 180^\circ = 180^\circ$
ये चतुर्भुज $\text{QORP}$ के सम्मुख कोण हैं और पूरक हैं।
इसलिए, चतुर्भुज $\text{QORP}$ चक्रीय है।
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