उपरोक्त प्रश्न $5$ में, यदि दोनों वृत्तों की त्रिज्याएँ बराबर हों, तो सिद्ध कीजिए कि $AB = CD$ है।
Exercise-9.3-6
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दिया गया है: $AB$ और $CD$ समान त्रिज्या वाले दो वृत्तों की दो उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ हैं।
निर्माण सिद्ध करने के लिए : $\text{OA, OC, O'B}$ और $O'D$ प्रमाण
अब, $\angle OAB = 90^\circ$ और $\angle OCD = 90^\circ, OA \perp AB$ और $OC \perp CD$
एक वृत्त के किसी भी बिंदु पर स्पर्शरेखा संपर्क बिंदु के माध्यम से त्रिज्या के लंबवत है
इस प्रकार, $AC$ एक सीधी रेखा है।
$\angle O'BA = \angle O'DC = 90^\circ$
वृत्त पर एक बिंदु पर एक स्पर्शरेखा संपर्क बिंदु के माध्यम से त्रिज्या के लंबवत है इसलिए $\text{ABCD}$ एक चतुर्भुज है जिसमें चार भुजाएँ $\text{AB, BC, CD}$ और $AD$ हैं
लेकिन जैसा कि $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^AB, BC, CD$
अत: $\text{ABCD}$ एक आयत है। अत: आयत की सम्मुख भुजाएँ $AB = CD$ बराबर हैं।
निर्माण सिद्ध करने के लिए : $\text{OA, OC, O'B}$ और $O'D$ प्रमाण
अब, $\angle OAB = 90^\circ$ और $\angle OCD = 90^\circ, OA \perp AB$ और $OC \perp CD$
एक वृत्त के किसी भी बिंदु पर स्पर्शरेखा संपर्क बिंदु के माध्यम से त्रिज्या के लंबवत है
इस प्रकार, $AC$ एक सीधी रेखा है।
$\angle O'BA = \angle O'DC = 90^\circ$
वृत्त पर एक बिंदु पर एक स्पर्शरेखा संपर्क बिंदु के माध्यम से त्रिज्या के लंबवत है इसलिए $\text{ABCD}$ एक चतुर्भुज है जिसमें चार भुजाएँ $\text{AB, BC, CD}$ और $AD$ हैं
लेकिन जैसा कि $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^AB, BC, CD$
अत: $\text{ABCD}$ एक आयत है। अत: आयत की सम्मुख भुजाएँ $AB = CD$ बराबर हैं।
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आकृति में, AB और CD असमान त्रिज्याओं वाले दो वृत्तों की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ हैं। सिद्ध कीजिए कि AB = CD हैं।
