यदि केंद्र $O$ वाले एक वृत्त के एक बाहरी बिंदु $B$ से दो स्पर्श रेखाएँ $BC$ और $BD$ इस प्रकार खींची जाएँ कि $\angle \text{DBC} = 120^\circ$ है, तो सिद्ध कीजिए कि $BC + BD = BO$ है, अर्थात् $BO = 2BC$ है।
Exercise-9.3-3
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प्रश्न के अनुसार, हमें दिया गया है कि केंद्र $O$ वाले एक वृत्त के बाहरी बिंदु $B$ से दो स्पर्श रेखाएँ $BC, BD$ इस प्रकार खींची जाती हैं कि $\angle \text{DBC} = 120^\circ,$ हमें सिद्ध करना है कि $BC + BD = BO,$ अर्थात $BO = 2BC$।
दिया गया है: केंद्र $O$ वाला एक वृत्त।
स्पर्श रेखाएँ $BC$ और $BD$ एक बाहरी बिंदु $B$ से इस प्रकार खींचे गए हैं कि $\angle \text{DBC} = 120^\circ$
सिद्ध करने के लिए: $BC + BD = BO,$ अर्थात $BO = 2BC$
रचना : $OB, OC$ और $OD$ को मिलाइए।
हल: $\triangle \text{OBC}$ और $\triangle \text{OBD}$ से,
$OB = OB [$सामान्य$]$
$OC = OD [$समान सर्कल की त्रिज्या$]$
$BC = BD [$बाहरी बिंदु से स्पर्शरेखा लंबाई में बराबर हैं$] …(i)$
$\therefore \triangle \text{OBC} \cong \triangle \text{OBD} [$सर्वांगसमता के $\text{SSS}$ मानदंड द्वारा]
$\Rightarrow \angle \text{OBC} = \angle \text{OBD (CPCT)}$
$\therefore \angle \text{OBC} = \frac{1}{2} \angle \text{DBC} = \frac{1}{2} \times 120^\circ [\because \text{CBD} = 120^\circ$ दिया गया$]$
$\Rightarrow \angle \text{OBC} = 60^\circ$
संपर्क बिंदु $C$ पर $\text{OBC} = 60^\circ OC$ और $BC$ क्रमशः त्रिज्या और स्पर्श रेखा हैं।
इसलिए, $\angle \text{OCB} = 90^\circ$
अब, समकोण $\triangle \text{OCB}$ में , $\angle \text{OBC} = 60^\circ$
$\therefore \cos 60^\circ = \frac{B C}{B O}$
$\Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{B C}{B O}$
$\Rightarrow OB = 2BC$
$\Rightarrow OB = BC + BC$
$\Rightarrow OB = BC + BD [\because BC = BD$ से $(i)]$
अत: सिद्ध हुआ।
दिया गया है: केंद्र $O$ वाला एक वृत्त।
स्पर्श रेखाएँ $BC$ और $BD$ एक बाहरी बिंदु $B$ से इस प्रकार खींचे गए हैं कि $\angle \text{DBC} = 120^\circ$
सिद्ध करने के लिए: $BC + BD = BO,$ अर्थात $BO = 2BC$
रचना : $OB, OC$ और $OD$ को मिलाइए।
हल: $\triangle \text{OBC}$ और $\triangle \text{OBD}$ से,
$OB = OB [$सामान्य$]$
$OC = OD [$समान सर्कल की त्रिज्या$]$
$BC = BD [$बाहरी बिंदु से स्पर्शरेखा लंबाई में बराबर हैं$] …(i)$
$\therefore \triangle \text{OBC} \cong \triangle \text{OBD} [$सर्वांगसमता के $\text{SSS}$ मानदंड द्वारा]
$\Rightarrow \angle \text{OBC} = \angle \text{OBD (CPCT)}$
$\therefore \angle \text{OBC} = \frac{1}{2} \angle \text{DBC} = \frac{1}{2} \times 120^\circ [\because \text{CBD} = 120^\circ$ दिया गया$]$
$\Rightarrow \angle \text{OBC} = 60^\circ$
संपर्क बिंदु $C$ पर $\text{OBC} = 60^\circ OC$ और $BC$ क्रमशः त्रिज्या और स्पर्श रेखा हैं।
इसलिए, $\angle \text{OCB} = 90^\circ$
अब, समकोण $\triangle \text{OCB}$ में , $\angle \text{OBC} = 60^\circ$
$\therefore \cos 60^\circ = \frac{B C}{B O}$
$\Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{B C}{B O}$
$\Rightarrow OB = 2BC$
$\Rightarrow OB = BC + BC$
$\Rightarrow OB = BC + BD [\because BC = BD$ से $(i)]$
अत: सिद्ध हुआ।
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