सिद्ध कीजिए कि दो प्रतिच्छेदी रेखाओं को स्पर्श करने वाले वृत्त का केंद्र इन रेखाओं से बने कोण के समद्विभाजक पर स्थित होता है।
Exercise-9.3-4
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मान लीजिए $l_1$ और $l_2$ दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ हैं।
मान लीजिए कि केंद्र $O$ वाला एक वृत्त क्रमशः $M$ और $N$ पर रेखाओं $l_1$ और $l_2$ को स्पर्श करता है।
इसलिए, $OM = ON$
इसलिए, $O, l_1$ और $l_2$ से समान दूरी पर है।
$\triangle OPM$ और $\triangle OPN$ में
$\angle OMP = \angle ONP ....($त्रिज्या स्पर्शरेखा के लंबवत है$)$
$OP = OP ...($उभयनिष्ठ पक्ष$)$
$OM = ON ...($एक ही वृत्त की त्रिज्या$)$
$\Rightarrow \triangle OPM \cong \triangle OPN ...(\text{RHS}$ सर्वांगसमता मानदंड$)$
$\Rightarrow \angle MPO = \angle NPO ...\text{(CPCT)}$
$\Rightarrow I$ समद्विभाजित करता है $\angle MPN$
$\Rightarrow O,$
$I_1$ और $l_2$ के बीच के कोणों के समद्विभाजक पर स्थित है, अर्थात $O, l$ पर स्थित है।
इसलिए, दो प्रतिच्छेदी रेखाओं को स्पर्श करने वाले वृत्त का केंद्र दो रेखाओं के कोणों के समद्विभाजक पर स्थित होता है।
मान लीजिए कि केंद्र $O$ वाला एक वृत्त क्रमशः $M$ और $N$ पर रेखाओं $l_1$ और $l_2$ को स्पर्श करता है।
इसलिए, $OM = ON$
इसलिए, $O, l_1$ और $l_2$ से समान दूरी पर है।
$\triangle OPM$ और $\triangle OPN$ में
$\angle OMP = \angle ONP ....($त्रिज्या स्पर्शरेखा के लंबवत है$)$
$OP = OP ...($उभयनिष्ठ पक्ष$)$
$OM = ON ...($एक ही वृत्त की त्रिज्या$)$
$\Rightarrow \triangle OPM \cong \triangle OPN ...(\text{RHS}$ सर्वांगसमता मानदंड$)$
$\Rightarrow \angle MPO = \angle NPO ...\text{(CPCT)}$
$\Rightarrow I$ समद्विभाजित करता है $\angle MPN$
$\Rightarrow O,$
$I_1$ और $l_2$ के बीच के कोणों के समद्विभाजक पर स्थित है, अर्थात $O, l$ पर स्थित है।
इसलिए, दो प्रतिच्छेदी रेखाओं को स्पर्श करने वाले वृत्त का केंद्र दो रेखाओं के कोणों के समद्विभाजक पर स्थित होता है।
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