किसी $AP$ के $26$वें, $11$वें और अंतिम पद क्रमशः $0, 3$ और $-\frac 15$ हैं। इसका सार्व अंतर और पदों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Exercise-5.3-6
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एक अंकगणितीय श्रेणी का $26$वां, $11$वां और अंतिम पद $0, 3$ और $-\frac 15$ है क्रमशः।
मान लीजिए $"a"$ पहला पद है और $"d"$ सामान्य अंतर है।
फिर, $a_{26} = a + 25d,$ as $(a_{26} = 0)$
$\Rightarrow a + 25d = 0 ...(i)$
और, $a_{11} = a + 10d$
$\Rightarrow a + 10d = 3 ...(ii)$
$(ii)$ को $(i)$ से घटाने पर, हमें प्राप्त होता है
$a + 25d - a - 10d = 0 - 3$
$\Rightarrow 15d = -3$
$\Rightarrow$ समीकरण $(i)$ में $d$ का पद रखने पर, हम पाते हैं,
$a + 25 \times (\frac {-1}5) = 0$
$\Rightarrow a = 5$
मान लीजिए दिए गए $AP$ में $n$ पद हैं
तो, $n$ वां पद $= -\frac 15$
$\Rightarrow a + (n - 1)d = -\frac 15$
$\Rightarrow 5 (n - 1)\left(-\frac{1}{5}\right)=-\frac{1}{5}$
$\Rightarrow (n - 1)\left(-\frac{1}{5}\right)=-\frac{1}{5} - 5$
$\Rightarrow (n - 1)\left(\frac{-1}{5}\right)=\frac{-26}{5}$
$\Rightarrow n - 1 = 26$
$\Rightarrow n = 27$
अत: उभयनिष्ठ अंतर $d = -\frac 15$ और पदों की संख्या $27$ के बराबर है।
मान लीजिए $"a"$ पहला पद है और $"d"$ सामान्य अंतर है।
फिर, $a_{26} = a + 25d,$ as $(a_{26} = 0)$
$\Rightarrow a + 25d = 0 ...(i)$
और, $a_{11} = a + 10d$
$\Rightarrow a + 10d = 3 ...(ii)$
$(ii)$ को $(i)$ से घटाने पर, हमें प्राप्त होता है
$a + 25d - a - 10d = 0 - 3$
$\Rightarrow 15d = -3$
$\Rightarrow$ समीकरण $(i)$ में $d$ का पद रखने पर, हम पाते हैं,
$a + 25 \times (\frac {-1}5) = 0$
$\Rightarrow a = 5$
मान लीजिए दिए गए $AP$ में $n$ पद हैं
तो, $n$ वां पद $= -\frac 15$
$\Rightarrow a + (n - 1)d = -\frac 15$
$\Rightarrow 5 (n - 1)\left(-\frac{1}{5}\right)=-\frac{1}{5}$
$\Rightarrow (n - 1)\left(-\frac{1}{5}\right)=-\frac{1}{5} - 5$
$\Rightarrow (n - 1)\left(\frac{-1}{5}\right)=\frac{-26}{5}$
$\Rightarrow n - 1 = 26$
$\Rightarrow n = 27$
अत: उभयनिष्ठ अंतर $d = -\frac 15$ और पदों की संख्या $27$ के बराबर है।
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