किसी $AP$ में यदि $S_{n }= 3n^{2 }+ 5n$ और $a_{k }= 164$ है, तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।
Exercise-5.3-25
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दिया गया है, $S_n = 3n^2 + 5n$
$S_{n - 1} = 3(n - 1)^2 + 5(n - 1)$
$= 3(n^2 - 2n + 1) + 5n - 5$
$= 3n^2 - 6n + 3 + 5n - 5$
$= 3n^2 - n - 2$
$S_n - S_{n - 1} = 3n^2 + 5n - (3n^2 - n - 2)$
$\Rightarrow (a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n - 1 + a_n) - (a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_{n - 1}) = 6n + 2$
$\Rightarrow a_n = 6n + 2$
फिर
$a_k = 6k + 2 = 164$
$6k = 164 - 2 = 162$
$k = 27$
$S_{n - 1} = 3(n - 1)^2 + 5(n - 1)$
$= 3(n^2 - 2n + 1) + 5n - 5$
$= 3n^2 - 6n + 3 + 5n - 5$
$= 3n^2 - n - 2$
$S_n - S_{n - 1} = 3n^2 + 5n - (3n^2 - n - 2)$
$\Rightarrow (a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n - 1 + a_n) - (a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_{n - 1}) = 6n + 2$
$\Rightarrow a_n = 6n + 2$
फिर
$a_k = 6k + 2 = 164$
$6k = 164 - 2 = 162$
$k = 27$
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