यदि किसी $AP$ के प्रथम $6$ पदों का योग $36$ है तथा प्रथम $16$ पदों का योग $256$ है, तो उसके प्रथम $10$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।
Exercise-5.3-28
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$AP$ पर विचार करें जिसका पहला पद और सार्व अंतर क्रमशः $'a\ '$ और $'d\ '$ है।
यदि किसी $AP$ के पहले $6$ पदों का योग $36$ है।
$S_6 = 36$
$\therefore \frac 62 [2a + (6 – 1)d] = 36 [\because S_n = \frac n2 [2a + (n - 1)d]$
$\Rightarrow 3[2a + 5d] = 36$
$\Rightarrow 2a + 5d = \frac {36}3$
$\Rightarrow 2a + 5d = 12 …(i)$
यदि पहले $16$ पदों का योग $256$ है,
तो, $S_{16} = 256$
$\Rightarrow \frac {16}2 [2a + (16 - 1)d = 256$
$\Rightarrow 8[2a + 15d] = 256$
$\Rightarrow 2a + 15d = \frac {256}8$
$\Rightarrow 2a + 15d = 32 …(ii)$
$(i)$ को $(ii)$ से घटाने पर, हमें प्राप्त होता है
$2a + 15d = 32 ...(ii)$
$\Rightarrow d = 2$
अब, $2a + 5d = 12 [(i)$ से $]$
$\Rightarrow 2a + 5(2) = 12$
$\Rightarrow 2a + 10 = 12$
$\Rightarrow 2a = 12 - 10$
$\Rightarrow a = \frac 22$
$\Rightarrow a = 1$
$\therefore a = 1$ और $d = 2$
$S_{10} = \frac {10}2[2a + (10 - 1)d$
$= 5[2(1) + 9(2)]$
$= 5[2 + 18]$
$= 5[20]$
$= 100$
$\Rightarrow S_{10} = 100$
अत: प्रथम $10$ पदों का योग $100$ है।
यदि किसी $AP$ के पहले $6$ पदों का योग $36$ है।
$S_6 = 36$
$\therefore \frac 62 [2a + (6 – 1)d] = 36 [\because S_n = \frac n2 [2a + (n - 1)d]$
$\Rightarrow 3[2a + 5d] = 36$
$\Rightarrow 2a + 5d = \frac {36}3$
$\Rightarrow 2a + 5d = 12 …(i)$
यदि पहले $16$ पदों का योग $256$ है,
तो, $S_{16} = 256$
$\Rightarrow \frac {16}2 [2a + (16 - 1)d = 256$
$\Rightarrow 8[2a + 15d] = 256$
$\Rightarrow 2a + 15d = \frac {256}8$
$\Rightarrow 2a + 15d = 32 …(ii)$
$(i)$ को $(ii)$ से घटाने पर, हमें प्राप्त होता है
$2a + 15d = 32 ...(ii)$
$\Rightarrow d = 2$
अब, $2a + 5d = 12 [(i)$ से $]$
$\Rightarrow 2a + 5(2) = 12$
$\Rightarrow 2a + 10 = 12$
$\Rightarrow 2a = 12 - 10$
$\Rightarrow a = \frac 22$
$\Rightarrow a = 1$
$\therefore a = 1$ और $d = 2$
$S_{10} = \frac {10}2[2a + (10 - 1)d$
$= 5[2(1) + 9(2)]$
$= 5[2 + 18]$
$= 5[20]$
$= 100$
$\Rightarrow S_{10} = 100$
अत: प्रथम $10$ पदों का योग $100$ है।
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