$\lambda$ के किस $($किन$)$ मान $($मानों$)$ के लिए रैखिक समीकरण$-$युग्म
$\lambda x + y = \lambda^{2}$
$x + \lambda y = 1$
दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के युग्म
$\lambda x + y = \lambda^{2}$
$x + \lambda y = 1$
दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के युग्म
- का कोई हल नहीं होगा?
- के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे?
- का एक अद्वितीय हल होगा?
Exercise-3.3-1
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$x + y = \lambda^2$ और $x + y = 1$
हम जानते हैं कि रैखिक समीकरणों का निकाय
$a_1x + b_1y + c_1 = 0 ... (i)$
$a_2x + b_2y + c_2 = 0 ... (ii)$
हम जानते हैं कि रैखिक समीकरणों का निकाय
$a_1x + b_1y + c_1 = 0 ... (i)$
$a_2x + b_2y + c_2 = 0 ... (ii)$
- कोई समाधान नहीं है, अगर $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$
$\Rightarrow \frac{\lambda }{{\mathop 1\limits_{\text{I}} }} = \frac{1}{{\mathop \lambda \limits_{{\text{II}}} }} \ne \frac{{{\lambda ^2}}}{{\mathop 1\limits_{{\text{III}}} }}$
$I$ और $II$ से, हम
$\lambda^2 = 1$ प्राप्त करते हैं
$\Rightarrow \lambda = \pm 1 ...(a)$
लेकिन $II$ और $III$ से; हम पाते हैं$\lambda^3 \neq 1$
$\Rightarrow \lambda \neq 1$
$\Rightarrow \lambda = -1$ - असीम रूप से कई समाधान हैं, अगर
$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$
$\Rightarrow \lambda^2 = \lambda$
$\Rightarrow \lambda^2 - \lambda = 0$
$\Rightarrow \lambda(\lambda - 1) = 0$
$\Rightarrow \lambda = 0, \lambda = 1 ...(b)$
समीकरणों $(a)$ और $(b)$ से सामान्य समाधान$($हल$)$ जिसके लिए रैखिक समीकरणों की जोड़ी में असीमित कई समाधान होते हैं, केवल $\lambda = 1$ होता है। - अद्वितीय समाधान के लिए, $\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$
$\therefore \frac{\lambda}{1} \neq \frac{1}{\lambda}$
$\Rightarrow \lambda^2 \neq 1$ या $\lambda \neq 1, -1$
तो, अद्वितीय समाधान के लिए सभी $\lambda = 1$ को छोड़कर वास्तविक मूल्य$, -1$
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