a और b के किन मानों के लिए, निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे?
$x + 2y = 1;$
$(a – b)x + (a + b)y = a + b – 2$
$x + 2y = 1;$
$(a – b)x + (a + b)y = a + b – 2$
Exercise-3.3-3
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समीकरणों की दी गई प्रणाली को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$x + 2y - 1 = 0$
$(a - b)x + (a + b)y - (a + b - 2) = 0$
समीकरणों की यह प्रणाली इस प्रकार की है
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$
$a_2x + b_2y + c_2 = 0$
कहां, $a_1 = 1, b_1 = 2, c_1 = 1$
और, $a_2 = a - b, b_2 = a + b, c_2 = -1(a + b - 2)$
समीकरणों की प्रणाली के लिए अनंत समाधान होने के लिए,
$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}$
$\Rightarrow \frac{1}{a-b}=\frac{2}{a+b}=\frac{-1}{-(a+b-2)}$
$\Rightarrow \frac{1}{a-b}=\frac{2}{a+b}=\frac{1}{a+b-2}$
अभी, $\frac{1}{a-b}=\frac{2}{a+b}$
$\Rightarrow a + b = 2a - 2b$
$\Rightarrow a - 3b = 0 ...(i)$
और $a + b - 2 = a - b$
$\Rightarrow 2b = 2$
$\Rightarrow b = 1$
$b = 1$ को $(i)$ में रखने पर हमें
$a - 3 \times 1= 0$
$a = 3$
इसलिए, दिए गए रैखिक समीकरणों के युग्म के $a = 3$ और $b = 1$ के लिए अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे।
$x + 2y - 1 = 0$
$(a - b)x + (a + b)y - (a + b - 2) = 0$
समीकरणों की यह प्रणाली इस प्रकार की है
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$
$a_2x + b_2y + c_2 = 0$
कहां, $a_1 = 1, b_1 = 2, c_1 = 1$
और, $a_2 = a - b, b_2 = a + b, c_2 = -1(a + b - 2)$
समीकरणों की प्रणाली के लिए अनंत समाधान होने के लिए,
$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}$
$\Rightarrow \frac{1}{a-b}=\frac{2}{a+b}=\frac{-1}{-(a+b-2)}$
$\Rightarrow \frac{1}{a-b}=\frac{2}{a+b}=\frac{1}{a+b-2}$
अभी, $\frac{1}{a-b}=\frac{2}{a+b}$
$\Rightarrow a + b = 2a - 2b$
$\Rightarrow a - 3b = 0 ...(i)$
और $a + b - 2 = a - b$
$\Rightarrow 2b = 2$
$\Rightarrow b = 1$
$b = 1$ को $(i)$ में रखने पर हमें
$a - 3 \times 1= 0$
$a = 3$
इसलिए, दिए गए रैखिक समीकरणों के युग्म के $a = 3$ और $b = 1$ के लिए अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे।
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