मान लें A तथा B स्वतंत्र घटनाएँ हैं और P(A) = $\frac{1}{2}$ तथा P(B) = $ \frac{7}{12}$ और P(A -नहीं या B-नहीं ) = $\frac{1}{4}$। क्या A और B स्वतंत्र घटनाएँ हैं?
Exercise-13.2-10
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दिया है, P(A -नहीं या B -नहीं) = $ \frac{1}{4}$ $ \Rightarrow$ P(A' या B') = $\frac{1}{4}$
$ \Rightarrow$ P$\left(A^{\prime} \cup B^{\prime}\right)$ $=\frac{1}{4}$$\Rightarrow $$P\left[(A \cap B)^{\prime}\right]$ =$ \frac{1}{4}$[ $\because$ P(A' $\cup$ B') = P(A $\cap$ B)
$\Rightarrow$$ 1-P(A \cap B)$$=\frac{1}{4} \Rightarrow P(A \cap B)$$=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$...(i)
अब, $P(A) \times P(B)$ $=\frac{1}{2}$$ \times \frac{7}{12}$$=\frac{7}{24}$$ \neq \frac{3}{4}$ [दिया है, $\left.P(A)=\frac{1}{2}, P(B)=\frac{7}{12}\right]$
$\Rightarrow$ P(A) $\times$ P(B) $\neq $ P(A $\cap$ B)
$\therefore$ घटनाएँ A तथा B स्वतंत्र घटनाएँ नहीं हैं।
$ \Rightarrow$ P$\left(A^{\prime} \cup B^{\prime}\right)$ $=\frac{1}{4}$$\Rightarrow $$P\left[(A \cap B)^{\prime}\right]$ =$ \frac{1}{4}$[ $\because$ P(A' $\cup$ B') = P(A $\cap$ B)
$\Rightarrow$$ 1-P(A \cap B)$$=\frac{1}{4} \Rightarrow P(A \cap B)$$=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$...(i)
अब, $P(A) \times P(B)$ $=\frac{1}{2}$$ \times \frac{7}{12}$$=\frac{7}{24}$$ \neq \frac{3}{4}$ [दिया है, $\left.P(A)=\frac{1}{2}, P(B)=\frac{7}{12}\right]$
$\Rightarrow$ P(A) $\times$ P(B) $\neq $ P(A $\cap$ B)
$\therefore$ घटनाएँ A तथा B स्वतंत्र घटनाएँ नहीं हैं।
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