मान लीजिए कि L किसी समतल में स्थित समस्त रेखाओं का एक समुच्चय है तथा $\mathrm{R}=\left\{\left(\mathrm{L}_{1}, \mathrm{~L}_{2}\right): \mathrm{L}_{1}, \mathrm{~L}_{2}\right.$ पर लंब है$\}$ समुच्चय $L$ में परिभाषित एक संबंध है। सिद्ध कीजिए कि $R$ सममित है किंत यह न तो स्वतल्य है और न संक्रामक है।
example-3
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$R$ स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि कोई रेखा $L_1$ अपने आप पर लंब नहीं हो सकती है,
अर्थात् $ \left(\mathrm{L}_{1}, \mathrm{~L}_{1}\right) \notin \mathrm{R} . \mathrm{R}$ सममित है, क्योंकि $\left(\mathrm{L}_{1}, \mathrm{~L}_{2}\right) \in \mathrm{R}$
$\Rightarrow \mathrm{L}_{1}, \mathrm{~L}_{2} $ पर लंब है
$\Rightarrow \mathrm{L}_{2}, \mathrm{~L}_{1} $ पर लंब है
$\Rightarrow \left(\mathrm{L}_{2}, \mathrm{~L}_{1}\right) \in \mathrm{R}$
$R$ संक्रामक नहीं है। निश्चय ही, यदि $\mathrm{L}_{1}, \mathrm{~L}_{2}$ पर लंब है तथा $\mathrm{L}_{2},\mathrm{L}_{3}$ पर लंब है, तो $ \mathrm{L}_{1}, \mathrm{~L}_{3}$ पर कभी भी लंब नहीं हो सकती है।
वास्तव में ऐसी दशा में $ \mathrm{L}_{1}, \mathrm{~L}_{3}$ के समान्तर होगी।
अर्थात्, $ \left(\mathrm{L}_{1}, \mathrm{~L}_{2}\right) \in \mathrm{R}, \left(\mathrm{L}_{2}, \mathrm{~L}_{3}\right) \in \mathrm{R}$
परंतु $\left(\mathrm{L}_{1}, \mathrm{~L}_{3}\right) \notin \mathrm{R}$
अर्थात् $ \left(\mathrm{L}_{1}, \mathrm{~L}_{1}\right) \notin \mathrm{R} . \mathrm{R}$ सममित है, क्योंकि $\left(\mathrm{L}_{1}, \mathrm{~L}_{2}\right) \in \mathrm{R}$
$\Rightarrow \mathrm{L}_{1}, \mathrm{~L}_{2} $ पर लंब है
$\Rightarrow \mathrm{L}_{2}, \mathrm{~L}_{1} $ पर लंब है
$\Rightarrow \left(\mathrm{L}_{2}, \mathrm{~L}_{1}\right) \in \mathrm{R}$
$R$ संक्रामक नहीं है। निश्चय ही, यदि $\mathrm{L}_{1}, \mathrm{~L}_{2}$ पर लंब है तथा $\mathrm{L}_{2},\mathrm{L}_{3}$ पर लंब है, तो $ \mathrm{L}_{1}, \mathrm{~L}_{3}$ पर कभी भी लंब नहीं हो सकती है।
वास्तव में ऐसी दशा में $ \mathrm{L}_{1}, \mathrm{~L}_{3}$ के समान्तर होगी।
अर्थात्, $ \left(\mathrm{L}_{1}, \mathrm{~L}_{2}\right) \in \mathrm{R}, \left(\mathrm{L}_{2}, \mathrm{~L}_{3}\right) \in \mathrm{R}$
परंतु $\left(\mathrm{L}_{1}, \mathrm{~L}_{3}\right) \notin \mathrm{R}$
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