मान लीजिए कि $X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ है। मान लीजिए कि $X$ में $R_1 = (x, y) : x - y$ संख्या $3$ से भाज्य है द्वारा प्रदत्त एक संबंध $R_1$ है तथा $R_2 = (x, y) : \{x, y\} \subset \{1, 4, 7\}$ या $\{x, y\} \subset \{2, 5, 8\}$ या $\{(x, y\} \subset \{3, 6, 9\}$ द्वारा प्रदत्त $X$ में एक अन्य संबंध $R_2$ है। सिद्ध कीजिए कि $R_1 = R_2$ है।
example-43
Download our app for free and get started
नोट कीजिए कि $1, 4, 7, \{2, 5, 8\}$ तथा $\{3, 6, 9\}$ समुच्चयों में से प्रत्येक का अभिलक्षण $($characterstic$)$ यह है कि इनके किसी भी दो अवयवों का अंतर $3$ का एक गुणज है। इसलिए $(x, y) \in R_1 $
$\Rightarrow x - y$ संख्या $3$ का गुणज है
$\Rightarrow \{x, y\} \subset \{1, 4, 7\}$ या $\{x, y\} \subset \{2, 5, 8\}$ या $\{x, y\} \subset \{3, 6, 9\} $
$\Rightarrow \{x, y\} \in R_2,$ अतः$ R_1 \subset R_2$ इसी प्रकार $\{x, y\} \in R_2 $
$\Rightarrow \{x, y\} \subset \{1, 4, 7\}$ या $\{x, y\} \subset \{2, 5, 8\}$ या $\{x, y\} \subset \{3, 6, 9\} $
$\Rightarrow x - y$ संख्या $3$ से भाज्य है
$\Rightarrow \{x, y\} \in R_1$ इससे स्पष्ट होता है कि
$R, \subset R_1$ अतः $R_1 = R_2$ है।
$\Rightarrow x - y$ संख्या $3$ का गुणज है
$\Rightarrow \{x, y\} \subset \{1, 4, 7\}$ या $\{x, y\} \subset \{2, 5, 8\}$ या $\{x, y\} \subset \{3, 6, 9\} $
$\Rightarrow \{x, y\} \in R_2,$ अतः$ R_1 \subset R_2$ इसी प्रकार $\{x, y\} \in R_2 $
$\Rightarrow \{x, y\} \subset \{1, 4, 7\}$ या $\{x, y\} \subset \{2, 5, 8\}$ या $\{x, y\} \subset \{3, 6, 9\} $
$\Rightarrow x - y$ संख्या $3$ से भाज्य है
$\Rightarrow \{x, y\} \in R_1$ इससे स्पष्ट होता है कि
$R, \subset R_1$ अतः $R_1 = R_2$ है।
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1$f : {1, 2, 3} \rightarrow {a, b, c}$ तथा $g : {a, b, c} \rightarrow$ {सेब, गेंद, बिल्ली} $f(1) = a, f(2) = b, f(3) = c, g(a) =$ सेब, $g(b) =$ गेंद तथा $g(c) =$ बिल्ली द्वारा परिभाषित फलनों पर विचार कीजिए। सिद्ध कीजिए कि $f, g $और $g\ of$ व्युत्क्रमणीय हैं। f$^{-1}, g^{-1}$ तथा $(gof)^{-1}$ ज्ञात कीजिए तथा प्रमाणित कीजिए कि $(g\ of)^{-1}=f^{-1} o g^{-1}$ है।View Solution
- 2सिद्ध कीजिए कि आच्छादक फलन f : {1, 2, 3} $\rightarrow $ {1, 2, 3} सदैव एकैकी फलन होता है।View Solution
- 3View Solutionf तथा g ऐसे दो फलनों पर विचार कीजिए कि gof परिभाषित है तथा एकैकी है। क्या f तथा g दोनों अनिवार्यतः एकैकी हैं?
- 4सिद्ध कीजिए कि यदि $f: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}$ तथा $g: \mathrm{B} \rightarrow \mathrm{C}$ आच्छादक हैं, तो $g o f: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{C}$ भी आच्छादक है।View Solution
- 5View Solutionसिद्ध कीजिए कि पूर्णांकों के समुच्चय Z में R = {(a, b) : संख्या 2, (a - b) को विभाजित करती है} द्वारा प्रदत्त संबंध एक तुल्यता संबंध है।
- 6सिद्ध कीजिए कि f(x) = 2x द्वारा प्रदत्त फलन f : $ \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$, एकैकी तथा आच्छादक है।View Solution
- 7सिद्ध कीजिए कि नीचे परिभाषित फलन $f : N \rightarrow N$, एकैकी तथा आच्छादक दोनों ही हैView Solution
- 8View Solutionमान लीजिए कि समुच्चय A में धन पूर्णांकों के क्रमित युग्मों (ordered pairs) का एक संबंध R, (x, y) R (u, v), यदि और केवल यदि, xv = yu द्वारा परिभाषित है। सिद्ध कीजिए कि R एक तुल्यता संबंध है।
- 9मान लीजिए कि $T$ किसी समतल में स्थित समस्त त्रिभुजों का एक समुच्चय है। समुच्चय $T$ में $ \mathrm{R}=\left\{\left(\mathrm{T}_{1}, \mathrm{~T}_{2}\right): \mathrm{T}_{1}, \mathrm{~T}_{2}\right.\}$ के सर्वागंसम है एक संबंध है। सिद्ध कीजिए कि $R$ एक तुल्यता संबंध है।View Solution
- 10सिद्ध कीजिए कि एक एकैकी फलन f : {1, 2, 3} $\rightarrow$ {1, 2, 3} अनिवार्य रूप से आच्छादक भी है।View Solution