मान लीजिए कि $T$ किसी समतल में स्थित समस्त त्रिभुजों का एक समुच्चय है। समुच्चय $T$ में $ \mathrm{R}=\left\{\left(\mathrm{T}_{1}, \mathrm{~T}_{2}\right): \mathrm{T}_{1}, \mathrm{~T}_{2}\right.\}$ के सर्वागंसम है एक संबंध है। सिद्ध कीजिए कि $R$ एक तुल्यता संबंध है।
example-2
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संबंध $R$ स्वतुल्य है, क्योंकि प्रत्येक त्रिभुज स्वयं के सवार्गसम होता है।
पुनः $\left(\mathrm{T}_{1}, \mathrm{~T}_{2}\right) \in \mathrm{R} $
$\Rightarrow \mathrm{T}_{1}, \mathrm{~T}_{2}$ के सर्वागंसम है
$ \Rightarrow \mathrm{T}_{2}, \mathrm{~T}_{1}$ के सर्वागंसम है
$\Rightarrow\left(\mathrm{T}_{2}, \mathrm{~T}_{1}\right) \in \mathrm{R}$. अतः संबंध $R$ सममित है।
इसके अतिरिक्त $\left(\mathrm{T}_{1}, \mathrm{~T}_{2}\right),\left(\mathrm{T}_{2}, \mathrm{~T}_{3}\right) \in \mathrm{R} $
$\Rightarrow \mathrm{T}_{1}, \mathrm{~T}_{2}$ के सर्वागंसम है तथा $\ce{T_2, T_3}$ के सर्वागंसम है
$ \Rightarrow \mathrm{T}_{1}, \mathrm{~T}_{3}$ के सर्वागंसम है
$\Rightarrow\left(\mathrm{T}_{1}, \mathrm{~T}_{3}\right) \in \mathrm{R}$. अतः संबंध $R$ संक्रामक है।
इस प्रकार $R$ एक तुल्यता संबंध है।
पुनः $\left(\mathrm{T}_{1}, \mathrm{~T}_{2}\right) \in \mathrm{R} $
$\Rightarrow \mathrm{T}_{1}, \mathrm{~T}_{2}$ के सर्वागंसम है
$ \Rightarrow \mathrm{T}_{2}, \mathrm{~T}_{1}$ के सर्वागंसम है
$\Rightarrow\left(\mathrm{T}_{2}, \mathrm{~T}_{1}\right) \in \mathrm{R}$. अतः संबंध $R$ सममित है।
इसके अतिरिक्त $\left(\mathrm{T}_{1}, \mathrm{~T}_{2}\right),\left(\mathrm{T}_{2}, \mathrm{~T}_{3}\right) \in \mathrm{R} $
$\Rightarrow \mathrm{T}_{1}, \mathrm{~T}_{2}$ के सर्वागंसम है तथा $\ce{T_2, T_3}$ के सर्वागंसम है
$ \Rightarrow \mathrm{T}_{1}, \mathrm{~T}_{3}$ के सर्वागंसम है
$\Rightarrow\left(\mathrm{T}_{1}, \mathrm{~T}_{3}\right) \in \mathrm{R}$. अतः संबंध $R$ संक्रामक है।
इस प्रकार $R$ एक तुल्यता संबंध है।
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