सिद्ध कीजिए कि नीचे परिभाषित फलन $f : N \rightarrow N$, एकैकी तथा आच्छादक दोनों ही है
example-12
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मान लीजिए $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)$ है।
नोट कीजिए कि यदि $x_1$ विषम है तथा $x_2$ सम है, तो $x_{1}+1 =x_{2}-1$, अर्थात् $x_{2}-x_{1}=2$ जो असम्भव है। इस प्रकार $x_1$ के सम तथा $x_2$ के विषम होने की भी संभावना नहीं है।
इसलिए $x_1$ तथा $x_2$ दोनों ही या तो विषम होंगे या सम होंगे। मान लीजिए कि $x_1$ तथा $x_2$ दोनों विषम हैं, तो $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)$
$\Rightarrow x_{1}+1=x_{2}+1$
$\Rightarrow x_{1}=x_{2}.$ इसी प्रकार यदि $x_1$ तथा $x_{2 }$ दोनों सम हैं, तो भी $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)$
$\Rightarrow x_{1}-1=x_{2}-1$
$\Rightarrow x_{1}=x_{2}.$
अतः $f$ एकैकी है। साथ ही सहप्रांत $N$ की कोई भी विषम संख्या $2r + 1$, प्रांत $N$ की संख्या $2r + 2$ का प्रतिबिंब है और सहप्रांत $N$ की कोई भी सम संख्या $2r, N$ की संख्या $2r - 1$ का प्रतिबिंब है। अतः $f$ आच्छादक है।
नोट कीजिए कि यदि $x_1$ विषम है तथा $x_2$ सम है, तो $x_{1}+1 =x_{2}-1$, अर्थात् $x_{2}-x_{1}=2$ जो असम्भव है। इस प्रकार $x_1$ के सम तथा $x_2$ के विषम होने की भी संभावना नहीं है।
इसलिए $x_1$ तथा $x_2$ दोनों ही या तो विषम होंगे या सम होंगे। मान लीजिए कि $x_1$ तथा $x_2$ दोनों विषम हैं, तो $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)$
$\Rightarrow x_{1}+1=x_{2}+1$
$\Rightarrow x_{1}=x_{2}.$ इसी प्रकार यदि $x_1$ तथा $x_{2 }$ दोनों सम हैं, तो भी $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)$
$\Rightarrow x_{1}-1=x_{2}-1$
$\Rightarrow x_{1}=x_{2}.$
अतः $f$ एकैकी है। साथ ही सहप्रांत $N$ की कोई भी विषम संख्या $2r + 1$, प्रांत $N$ की संख्या $2r + 2$ का प्रतिबिंब है और सहप्रांत $N$ की कोई भी सम संख्या $2r, N$ की संख्या $2r - 1$ का प्रतिबिंब है। अतः $f$ आच्छादक है।
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