निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति में बतलाइए कि क्या दिए हुए फलन एकैकी, आच्छादक अथवा एकैकी आच्छादी $($bijective$)$ हैं। अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
- $f(x) = 3 - 4x$ द्वारा परिभाषित फलन $f: R \rightarrow R$ है।
- $f(x) = 1 + x^2$ द्वारा परिभाषित फलन $f: R \rightarrow R$ है।
Exercise-1.2-7
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- फलन $f: R \rightarrow R$ में,$ f(x) = 3 - 4x, \forall x \in R$
द्वारा प्ररिभाषित फलन है।
मान लीजिए $x, y \in R$ इस प्रकार है कि
$\Rightarrow 3-4 x=3-4 y \Rightarrow x=y$
$\therefore f$ एकैकी फलन है।
पुनः प्रत्येक वास्तविक संख्या $y \in R$ के लिए $x=\frac{3-y}{4} \in R$ इस प्रकार है कि
$f(x)=f\left(\frac{3-y}{4}\right)=3-4\left(\frac{3-y}{4}\right)=y$
$\therefore f$ आच्छादक फलन है। अतः f एकैकी आच्छादक फलन है। - फलन $f: R \rightarrow R$ में, $f(x) = 1 + x^2, \forall x \in R$ द्वारा परिभाषित फलन है। मान लीजिए $x, y \in R$ इस प्रकार है कि
$f(x)=f(y)$
$\Rightarrow 1+x^{2}=1+y^{2}$
$\Rightarrow x^{2}=y^{2} \Rightarrow x=\pm y$
जैसे
$f(1)=f(-1)=2 \therefore f $एकैकी फलन नहीं है।
पुनः$ -2 \in R$ के लिए $R$ में कोई $x \in R$ इस प्रकार नहीं है कि $f(x) = -2$
अर्थात् $1+x^{2}=-2 \Rightarrow x^{2}=-3$
$\therefore f$ आच्छादक फलन नहीं है।
$\therefore f$ न तो एकैकी न ही आच्छादक फलन है।
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