निर्धारित कीजिए कि समुच्चय R में प्रदत्त निम्नलिखित द्विआधारी संक्रियाओं में से कौन सी साहचर्य हैं और कौन सी क्रमविनिमेय हैं।
- a $* $ b = 1, $\forall$ a, b $\in$ R
- a $* $ b = $\frac{(a+b)}{2}$ $\forall$ a, b $\in$ R
example-45
Download our app for free and get started
- स्पष्टतया परिभाषा द्वारा a $* $ b = 1, $\forall$ a, b $\in$ R. साथ ही (a $* $ b) $* $ c = (1 $* $ c) = 1 तथा a $* $ (b $* $c) = a $* $(1) = 1, $\forall$ a, b, c $\in$ R अतः R साहचर्य तथा क्रमविनिमेय दोनों है।
- a $* $ b = $\frac{(a+b)}{2}$ = $\frac{b+a}{2}$ = b $* $ a $\forall$ a, b $\in$ R जिससे स्पष्ट होता है कि $* $ क्रमविनिमेय है। पुनः
(a $* $ b) $* $ c = $\left(\frac{a+b}{2}\right) $ $* $ c
=$\frac{\left(\frac{a+b}{2}\right)+c}{2}$ = $\frac{a+b+2 c}{4}$
किंतु (a $* $ b) $* $ c = a $* $ $\left(\frac{b+c}{2}\right)$
= $\frac{a+\frac{b+c}{2}}{2}$ = $\frac{2 a+b+c}{4}$ $ \neq $ $\frac{a+b+2 c}{4}$ (सामान्यतः)
अतः $* $ साहचर्य नहीं है।
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1a $ * $ b = $ \frac{a^{b}}{4}$ दी गई संक्रियाओं में किसी का तत्समक है, वह बतलाइए।View Solution
- 2सिद्ध कीजिए कि यदि f: $ \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}$ तथा $g: \mathrm{B} \rightarrow \mathrm{C}$ एकैकी हैं, तो $g o f: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{C}$ भी एकैकी है।View Solution
- 3$f : {1, 2, 3} \rightarrow {a, b, c}$ तथा $g : {a, b, c} \rightarrow$ {सेब, गेंद, बिल्ली} $f(1) = a, f(2) = b, f(3) = c, g(a) =$ सेब, $g(b) =$ गेंद तथा $g(c) =$ बिल्ली द्वारा परिभाषित फलनों पर विचार कीजिए। सिद्ध कीजिए कि $f, g $और $g\ of$ व्युत्क्रमणीय हैं। f$^{-1}, g^{-1}$ तथा $(gof)^{-1}$ ज्ञात कीजिए तथा प्रमाणित कीजिए कि $(g\ of)^{-1}=f^{-1} o g^{-1}$ है।View Solution
- 4सिद्ध कीजिए कि R में शून्य (0) योग का तत्समक है तथा 1 गुणा का तत्समक है। परंतु संक्रियाओं $-: \mathbf{R} \times \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ और $\div: \mathbf{R}_{*} \times \mathbf{R}_{*} \rightarrow \mathbf{R}_{*}$ के लिए कोई तत्समक अवयव नहीं है।View Solution
- 5मान लीजिए कि L किसी समतल में स्थित समस्त रेखाओं का एक समुच्चय है तथा $\mathrm{R}=\left\{\left(\mathrm{L}_{1}, \mathrm{~L}_{2}\right): \mathrm{L}_{1}, \mathrm{~L}_{2}\right.$ पर लंब है$\}$ समुच्चय $L$ में परिभाषित एक संबंध है। सिद्ध कीजिए कि $R$ सममित है किंत यह न तो स्वतल्य है और न संक्रामक है।View Solution
- 6मान लीजिए कि f : {2, 3, 4, 5} $ \rightarrow$ {3, 4, 5, 9} और g : {3, 4, 5, 9} $ \rightarrow$ {7, 11, 15} दो फलन इस प्रकार हैं कि f(2) = 3, f(3) = 4, f(4) = f(5) = 5 और g (3) = g (4) = 7 तथा g (5) = g (9) = 11, तो gof ज्ञात कीजिए।View Solution
- 7समुच्चय $(1, 2, 3, ..., n)$ से स्वयं तक के समस्त आच्छादक फलनों की संख्या ज्ञात कीजिए।View Solution
- 8दि गई संक्रियाओं में किसी का तत्समक है, वह बतलाइए। $a * b=a^{2}+b^{2}$View Solution
- 9View Solutionसिद्ध कीजिए कि R में योग तथा गुणा साहचर्य द्विआधारी संक्रियाएँ हैं। परंतु व्यवकलन तथा भाग R में साहचर्य नहीं है।
- 10सिद्ध कीजिए कि $f(x) = x^3$ द्वारा प्रदत्त फलन $f: R \rightarrow R$ एकैक $($Injective$)$ है।View Solution