रैखिक समीकरण $x + y = 2$ और $2x - y = 1$ के युग्म के हल को निरूपित करने वाले बिंदु से होकर जाने वाली एक रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए। हम ऐसी कितनी रेखाएँ ज्ञात कर सकते है?
Exercise-3.3-13
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दिया गया रैखिक समीकरणों का युग्म
$x + y - 2 = 0 ...(i)$
और $2x - y - 1 = 0 ...(ii)$
मानक रूप से तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं
यहाँ, $a_1 = 1, b_1 = 1, c_1 = -2;$
और $a_2 = 2, b_2 = - 1, c_2 = -1;$
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = -1$
$\frac{c_1}{c_2} = 2$
क्योंकि $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$
अतः, दोनों रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। इसलिए, समीकरणों के युग्म का एक अद्वितीय हल होता है। इसलिए, ये समीकरण सुसंगत हैं
अब, $x + y = 2$ या $y = 2 - x$
यदि $x = 0$ है तो $y = 2$ और यदि $x = 2$ है तो $y = 0$
और समीकरण $2x - y = 1$ में
यदि $x = 0$ है तो $y = - 1$
यदि $x = \frac{1}{2}$ तो $y = 0$ और
यदि $x = 1$ तो $y = 1$
बिंदुओं $A (2,0)$ और $B(0,2)$ को आलेखित करने पर हमें सीधी रेखा $AB$ प्राप्त होती है।
बिंदुओं $C(0,-1)$ और $D(\frac{1}{2}, 0)$ को आलेखित करने पर हमें सीधी रेखा $CD$ प्राप्त होती है।
रेखाएँ $AB$ और $CD$ प्रतिच्छेद करती हैं $E(1, 1)$ पर इसलिए, अनंत रेखाएं रैखिक समीकरणों $x + y = 2$ और $2x - y - 1 = 0$ अर्थात $E (1, 1)$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजर सकती हैं जैसे $y = x, x + 2y = 3, x + y = 2$ और इसी तरह।
$x + y - 2 = 0 ...(i)$
और $2x - y - 1 = 0 ...(ii)$
मानक रूप से तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं
यहाँ, $a_1 = 1, b_1 = 1, c_1 = -2;$
और $a_2 = 2, b_2 = - 1, c_2 = -1;$
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = -1$
$\frac{c_1}{c_2} = 2$
क्योंकि $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$
अतः, दोनों रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। इसलिए, समीकरणों के युग्म का एक अद्वितीय हल होता है। इसलिए, ये समीकरण सुसंगत हैं
अब, $x + y = 2$ या $y = 2 - x$
यदि $x = 0$ है तो $y = 2$ और यदि $x = 2$ है तो $y = 0$
| $x$ | $0$ | $2$ |
| $y$ | $2$ | $0$ |
| बिंदु | $A$ | $B$ |
यदि $x = 0$ है तो $y = - 1$
यदि $x = \frac{1}{2}$ तो $y = 0$ और
यदि $x = 1$ तो $y = 1$
| $x$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $1$ |
| $y$ | $-1$ | $0$ | $1$ |
| बिंदु | $C$ | $D$ | $E$ |
बिंदुओं $A (2,0)$ और $B(0,2)$ को आलेखित करने पर हमें सीधी रेखा $AB$ प्राप्त होती है।
बिंदुओं $C(0,-1)$ और $D(\frac{1}{2}, 0)$ को आलेखित करने पर हमें सीधी रेखा $CD$ प्राप्त होती है।
रेखाएँ $AB$ और $CD$ प्रतिच्छेद करती हैं $E(1, 1)$ पर इसलिए, अनंत रेखाएं रैखिक समीकरणों $x + y = 2$ और $2x - y - 1 = 0$ अर्थात $E (1, 1)$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजर सकती हैं जैसे $y = x, x + 2y = 3, x + y = 2$ और इसी तरह।
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