सिद्ध कीजिए कि R में योग, अंतर और गुणा द्विआधारी संक्रियाएँ हैं, किंतु भाग R में द्विआधारी संक्रिया नहीं है। साथ ही सिद्ध कीजिए कि भाग ऋणेतर वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R में द्विआधारी संक्रिया है।
example-29
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$+: \mathbf{R} \times \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R},(a, b) \rightarrow a+b$ द्वारा परिभाषित है
$-: \mathbf{R} \times \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R},(a, b) \rightarrow a-b$ द्वारा परिभाषित है
$\times: \mathbf{R} \times \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R},(a, b) \rightarrow a b$ द्वारा परिभाषित है
क्योंकि '+ ', '-' और 'x' फलन हैं, अतः ये R में द्विआधारी संक्रियाएँ हैं
परंतु $\div: \mathbf{R} \times \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R},(a, b) \rightarrow \frac{a}{b} $, एक फलन नहीं है, क्योंकि b = 0 के लिए $ \frac{a}{b}$ परिभाषित नहीं है।
तथापि $\div: \mathbf{R}_{*} \times \mathbf{R}_{*} \rightarrow \mathbf{R}_{*},(a, b) \rightarrow \frac{a}{b}$ द्वारा परिभाषित एक फलन है और इसलिए यह $ \mathbf{R}_{*} $ में एक द्विआधारी संक्रिया है।
$-: \mathbf{R} \times \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R},(a, b) \rightarrow a-b$ द्वारा परिभाषित है
$\times: \mathbf{R} \times \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R},(a, b) \rightarrow a b$ द्वारा परिभाषित है
क्योंकि '+ ', '-' और 'x' फलन हैं, अतः ये R में द्विआधारी संक्रियाएँ हैं
परंतु $\div: \mathbf{R} \times \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R},(a, b) \rightarrow \frac{a}{b} $, एक फलन नहीं है, क्योंकि b = 0 के लिए $ \frac{a}{b}$ परिभाषित नहीं है।
तथापि $\div: \mathbf{R}_{*} \times \mathbf{R}_{*} \rightarrow \mathbf{R}_{*},(a, b) \rightarrow \frac{a}{b}$ द्वारा परिभाषित एक फलन है और इसलिए यह $ \mathbf{R}_{*} $ में एक द्विआधारी संक्रिया है।
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