वक्र $x = 1 - a \sin \theta, y = b \cos^2 \theta$ के $\theta = \frac{\pi}{2}$ पर अभिलंब की प्रवणता ज्ञात कीजिए।
Exercise-6.3-6
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दिया गया है, $x = 1 - a \sin \theta$ और $y = b \cos^2 \theta$
$\theta$ के सापेक्ष $x$ और $y$ दोनों का अवकलन करने पर,
$\frac{d x}{d \theta} = \frac{d}{d \theta}(1 - a \sin \theta) = - a \cos \theta$ और$ \frac{d y}{d \theta} = \frac{d}{d \theta} (b \cos^2 \theta)$
$= 2b \cos \theta (- \sin \theta) = - 2b \cos \theta \sin \theta$
$\therefore \frac{d y}{d x} = \frac{\frac{d y}{d \theta}}{\frac{d x}{d \theta}} = \frac{-2 b \cos \theta \sin \theta}{-a \cos \theta} = \frac{2 b}{a} \sin \theta$
$\therefore \theta = \frac{\pi}{2}$ पर अभिलंब की प्रवणता,
$- \frac{d x}{d y} = \frac{-1}{d y / d x} = \frac{-1}{\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(\theta=\pi / 2)}} = \frac{-1}{\frac{2 b}{a} \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)} = \frac{-a}{2 b}$
$\theta$ के सापेक्ष $x$ और $y$ दोनों का अवकलन करने पर,
$\frac{d x}{d \theta} = \frac{d}{d \theta}(1 - a \sin \theta) = - a \cos \theta$ और$ \frac{d y}{d \theta} = \frac{d}{d \theta} (b \cos^2 \theta)$
$= 2b \cos \theta (- \sin \theta) = - 2b \cos \theta \sin \theta$
$\therefore \frac{d y}{d x} = \frac{\frac{d y}{d \theta}}{\frac{d x}{d \theta}} = \frac{-2 b \cos \theta \sin \theta}{-a \cos \theta} = \frac{2 b}{a} \sin \theta$
$\therefore \theta = \frac{\pi}{2}$ पर अभिलंब की प्रवणता,
$- \frac{d x}{d y} = \frac{-1}{d y / d x} = \frac{-1}{\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(\theta=\pi / 2)}} = \frac{-1}{\frac{2 b}{a} \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)} = \frac{-a}{2 b}$
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