अंतराल [0, 2 $\pi$] के किन बिंदुओं पर फलन sin 2x अपना उच्चतम मान प्राप्त करता है?
Exercise-6.5-8
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माना कि f(x) = sin 2x $\Rightarrow$ f$^{\prime}$(x) = 2 cos 2x
उच्चतम और न्यूनतम मान के लिए f$^{\prime}$(x) = 0 रखने पर
$ \Rightarrow $ 2 cos 2x = 0 $ \Rightarrow $ cos 2x = 0
$ \Rightarrow $ 2x = $ \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}, \frac{5 \pi}{2}, \frac{7 \pi}{2} $ $ \Rightarrow $ x = $ \frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}, \frac{7 \pi}{4}$
इसलिए हम x = $ \frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}, \frac{7 \pi}{4}$ और अंतराल [0, 2$\pi$] के अंत बिंदु पर f का मान ज्ञात करते हैं।
x = 0 पर, f(0) = sin (2$ \times$ 0) = 0
x = 2 $ \pi $ पर, f(2 $ \pi $) = sin (2$ \times$ 2$ \pi$) = 0
x =$ \frac{\pi}{4}$ पर, f$\left(\frac{\pi}{4}\right)$ = sin $\left(2 \times \frac{\pi}{4}\right)$ = sin $ \frac{\pi}{2}$ = 1
x = $ \frac{3 \pi}{4} $ पर, f $ \left(\frac{3 \pi}{4}\right)$ = sin $ \left(2 \times \frac{3 \pi}{4}\right)$= sin $\frac{3 \pi}{2}$ = sin $\left(\pi+\frac{\pi}{2}\right)$ = - sin $\frac{\pi}{2}$= - 1
x = $ \frac{5 \pi}{4} $ पर, f $ \left(\frac{5 \pi}{4}\right)$ = sin $ \left(2 \times \frac{5 \pi}{4}\right)$ = sin $ \frac{5 \pi}{2}$ = sin $\left(2 \pi+\frac{\pi}{2}\right)$ = sin $ \frac{\pi}{2}$ = 1
x = $\frac{7 \pi}{4} $ पर, f $\left(\frac{7 \pi}{4}\right)$ = sin $ \left(2 \times \frac{7 \pi}{4}\right)$ = sin $\frac{7 \pi}{2}$ = sin $ \left(2 \pi+\frac{3 \pi}{2}\right)$ = sin $ \frac{3 \pi}{2}$ = - 1
इसलिए हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि अन्तराल [2,$ \pi$] में f का निरपेक्ष उच्चतम मान 1 है जो x = $\frac{\pi}{4}$ और x = $ \frac{5 \pi}{4}$ पर घटित होता है।
उच्चतम और न्यूनतम मान के लिए f$^{\prime}$(x) = 0 रखने पर
$ \Rightarrow $ 2 cos 2x = 0 $ \Rightarrow $ cos 2x = 0
$ \Rightarrow $ 2x = $ \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}, \frac{5 \pi}{2}, \frac{7 \pi}{2} $ $ \Rightarrow $ x = $ \frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}, \frac{7 \pi}{4}$
इसलिए हम x = $ \frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}, \frac{7 \pi}{4}$ और अंतराल [0, 2$\pi$] के अंत बिंदु पर f का मान ज्ञात करते हैं।
x = 0 पर, f(0) = sin (2$ \times$ 0) = 0
x = 2 $ \pi $ पर, f(2 $ \pi $) = sin (2$ \times$ 2$ \pi$) = 0
x =$ \frac{\pi}{4}$ पर, f$\left(\frac{\pi}{4}\right)$ = sin $\left(2 \times \frac{\pi}{4}\right)$ = sin $ \frac{\pi}{2}$ = 1
x = $ \frac{3 \pi}{4} $ पर, f $ \left(\frac{3 \pi}{4}\right)$ = sin $ \left(2 \times \frac{3 \pi}{4}\right)$= sin $\frac{3 \pi}{2}$ = sin $\left(\pi+\frac{\pi}{2}\right)$ = - sin $\frac{\pi}{2}$= - 1
x = $ \frac{5 \pi}{4} $ पर, f $ \left(\frac{5 \pi}{4}\right)$ = sin $ \left(2 \times \frac{5 \pi}{4}\right)$ = sin $ \frac{5 \pi}{2}$ = sin $\left(2 \pi+\frac{\pi}{2}\right)$ = sin $ \frac{\pi}{2}$ = 1
x = $\frac{7 \pi}{4} $ पर, f $\left(\frac{7 \pi}{4}\right)$ = sin $ \left(2 \times \frac{7 \pi}{4}\right)$ = sin $\frac{7 \pi}{2}$ = sin $ \left(2 \pi+\frac{3 \pi}{2}\right)$ = sin $ \frac{3 \pi}{2}$ = - 1
इसलिए हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि अन्तराल [2,$ \pi$] में f का निरपेक्ष उच्चतम मान 1 है जो x = $\frac{\pi}{4}$ और x = $ \frac{5 \pi}{4}$ पर घटित होता है।
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