$y = x^{4 }- 6x^{3 }+ 13x^{2 }- 10x + 5$ के $(1, 3)$ पर दिए वक्र पर निर्दिष्ट बिंदुओं पर स्पर्श रेखा और अभिलंब के समीकरण ज्ञात कीजिए।
Exercise-6.3-14(2)
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दिए गए वक्र का समीकरण है, $y = x^4 - 6x^3 + 13x^2 - 10x + 5$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$ \frac{d y}{d x} = 4x^3 - 18x^2 + 26x - 10$
$\therefore$ बिंदु $(1, 3)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता, $\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(1,3)} = 4 - 18 + 26 - 10 = 2$
इसलिए, बिंदु $(1, 3)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $2$ है, अब स्पर्श रेखा का समीकरण,
$y - 3 = 2(x - 1) $
$\Rightarrow y - 3 = 2x - 2$
$\Rightarrow y = 2x + 1$
पुनः $(1, 3)$ पर अभिलंब की प्रवणता,
अतः अभिलंब का समीकरण,
$y - 3 = - \frac{1}{2}(x - 1)$
$\Rightarrow 2y - 6 = - x + 1 $
$\Rightarrow x + 2y - 7 = 0$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$ \frac{d y}{d x} = 4x^3 - 18x^2 + 26x - 10$
$\therefore$ बिंदु $(1, 3)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता, $\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(1,3)} = 4 - 18 + 26 - 10 = 2$
इसलिए, बिंदु $(1, 3)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $2$ है, अब स्पर्श रेखा का समीकरण,
$y - 3 = 2(x - 1) $
$\Rightarrow y - 3 = 2x - 2$
$\Rightarrow y = 2x + 1$
पुनः $(1, 3)$ पर अभिलंब की प्रवणता,
अतः अभिलंब का समीकरण,
$y - 3 = - \frac{1}{2}(x - 1)$
$\Rightarrow 2y - 6 = - x + 1 $
$\Rightarrow x + 2y - 7 = 0$
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