वक्र $x = a \cos^3 \theta, y = a \sin^3 \theta$ के $\theta = \frac{\pi}{4}$ पर अभिलंब की प्रवणता ज्ञात कीजिए।
Exercise-6.3-5
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दिया है, $x = a \cos^3 \theta$ और $y = a \sin^3 \theta$
$\theta$ के सापेक्ष $x$ और $y$ दोनों का अवकलन करने पर,
और
$\frac{d x}{d \theta} = 3 a \cos^2 \theta(- \sin\theta) = - 3 a \cos^2 \theta \sin \theta$
और $\frac{d y}{d \theta} = 3a \sin^2 \theta \cos \theta$
$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{d y}{d \theta}}{\frac{d x}{d \theta}}= \frac{3 a \sin ^{2} \theta \cos \theta}{-3 a \cos ^{2} \theta \sin \theta} ; \frac{d y}{d x} = \frac{-\sin \theta}{\cos \theta} = - \tan \theta$
अतः बिंदु $\theta = \frac{\pi}{4}$ पर अभिलंब की प्रवणता,
$\frac{-d x}{d y} = - \frac{1}{\frac{d y}{d x}} = \frac{-1}{\left(\frac{d y}{d x}\right)_{\theta=\frac{\pi}{4}}} = \frac{-1}{-\tan \left(\frac{\pi}{4}\right)} = \frac{-1}{-1}= 1$
$\theta$ के सापेक्ष $x$ और $y$ दोनों का अवकलन करने पर,
और
$\frac{d x}{d \theta} = 3 a \cos^2 \theta(- \sin\theta) = - 3 a \cos^2 \theta \sin \theta$
और $\frac{d y}{d \theta} = 3a \sin^2 \theta \cos \theta$
$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{d y}{d \theta}}{\frac{d x}{d \theta}}= \frac{3 a \sin ^{2} \theta \cos \theta}{-3 a \cos ^{2} \theta \sin \theta} ; \frac{d y}{d x} = \frac{-\sin \theta}{\cos \theta} = - \tan \theta$
अतः बिंदु $\theta = \frac{\pi}{4}$ पर अभिलंब की प्रवणता,
$\frac{-d x}{d y} = - \frac{1}{\frac{d y}{d x}} = \frac{-1}{\left(\frac{d y}{d x}\right)_{\theta=\frac{\pi}{4}}} = \frac{-1}{-\tan \left(\frac{\pi}{4}\right)} = \frac{-1}{-1}= 1$
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