रेखा $\frac{x+1}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z-3}{6}$ और समतल $10x + 2y - 11z = 3$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
example-25
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मान लीजिए कि रेखा ओर समतल के अभिलंब के बीच का कोण $\theta$ है। दिए गए रेखा तथा समतल के समीकरणों को सदिश रूप में व्यक्त करने पर हम
$\vec{r}=(-\hat{i}+3 \hat{k})+\lambda(2 \hat{i}+3 \hat{j}+6 \hat{k})$ और $\vec{r} \cdot(10 \hat{i}+2 \hat{j}-11 \hat{k})=3$ प्राप्त करते हैं।
यहाँ $\vec{b}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+6 \hat{k}$ और $\vec{n}=10 \hat{i}+2 \hat{j}-11 \hat{k}$
अतः $\sin \phi=\left|\frac{(2 \hat{i}+3 \hat{j}+6 \hat{k}) \cdot(10 \hat{i}+2 \hat{j}-11 \hat{k})}{\sqrt{2^{2}+3^{2}+6^{2}} \sqrt{10^{2}+2^{2}+11^{2}}}\right|$
$=\left|\frac{-40}{7 \times 15}\right|$
$=\left|\frac{-8}{21}\right|=\frac{8}{21}$ या $\phi = \sin^{-1}\left(\frac{8}{21}\right)$
$\vec{r}=(-\hat{i}+3 \hat{k})+\lambda(2 \hat{i}+3 \hat{j}+6 \hat{k})$ और $\vec{r} \cdot(10 \hat{i}+2 \hat{j}-11 \hat{k})=3$ प्राप्त करते हैं।
यहाँ $\vec{b}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+6 \hat{k}$ और $\vec{n}=10 \hat{i}+2 \hat{j}-11 \hat{k}$
अतः $\sin \phi=\left|\frac{(2 \hat{i}+3 \hat{j}+6 \hat{k}) \cdot(10 \hat{i}+2 \hat{j}-11 \hat{k})}{\sqrt{2^{2}+3^{2}+6^{2}} \sqrt{10^{2}+2^{2}+11^{2}}}\right|$
$=\left|\frac{-40}{7 \times 15}\right|$
$=\left|\frac{-8}{21}\right|=\frac{8}{21}$ या $\phi = \sin^{-1}\left(\frac{8}{21}\right)$
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