यह ज्ञात है कि एक महाविद्यालय के छात्रों में से $60\%$ छात्रावास में रहते हैं और $40\%$ छात्रावास में नहीं रहते हैं। पूर्ववर्ती वर्ष के परिणाम सूचित करते हैं कि छात्रावास में रहने वाले छात्रों में से $30\%$ और छात्रावास में न रहने वाले छात्रों में से $20\%$ छात्रों ने $A$ ग्रेड लिया। वर्ष के अन्त में महाविद्यालय के एक छात्र को यादृच्छया चुना गया और यह पाया गया है क उसे $A-$ग्रेड मिला है। इस बात कि क्या प्रायिकता है कि वह छात्र छात्रावास में रहने वाला है?
Exercise-13.3-3
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मान लीजिए घटना $E_1$ 'विद्यार्थी के छात्रावास में रहने की', $E_2$ घटना 'विद्यार्थी के छात्रावास में न रहने की' तथा घटना $E' A$ ग्रेड प्राप्त करने वाले विद्यार्थियों की संख्या' को निरूपित करता है। अर्थात् $E_1$ तथा $E_2$ घटनाएँ परस्पर अपवर्जी तथा परिपूर्ण घटनाएँ हैं।
$P(E_1) = 60\% = \frac{60}{100} = \frac{3}{5}$ तथा $P(E_2) = 40\% = \frac{40}{100}=\frac{2}{5}$
अतः $P\left(\frac{E}{E_{1}}\right) = 30\% = \frac{30}{100}=\frac{3}{10}$ तथा $P\left(\frac{E}{E_{2}}\right)= 20\% = \frac{20}{100} =\frac{2}{10}$
बेज प्रमेय के प्रयोग से,
$P\left(\frac{E_{1}}{E}\right) = \frac{P\left(\frac{E}{E_{1}}\right) P\left(E_{1}\right)}{P\left(\frac{E}{E_{1}}\right)$
$P\left(E_{1}\right)+P\left(\frac{E}{E_{2}}\right) P\left(E_{2}\right)} = \frac{\frac{3}{10} \times \frac{3}{5}}{\frac{3}{10} \times \frac{3}{5}+\frac{2}{10} \times \frac{2}{5}} = \frac{9}{9+4} = \frac{9}{13}$
$P(E_1) = 60\% = \frac{60}{100} = \frac{3}{5}$ तथा $P(E_2) = 40\% = \frac{40}{100}=\frac{2}{5}$
अतः $P\left(\frac{E}{E_{1}}\right) = 30\% = \frac{30}{100}=\frac{3}{10}$ तथा $P\left(\frac{E}{E_{2}}\right)= 20\% = \frac{20}{100} =\frac{2}{10}$
बेज प्रमेय के प्रयोग से,
$P\left(\frac{E_{1}}{E}\right) = \frac{P\left(\frac{E}{E_{1}}\right) P\left(E_{1}\right)}{P\left(\frac{E}{E_{1}}\right)$
$P\left(E_{1}\right)+P\left(\frac{E}{E_{2}}\right) P\left(E_{2}\right)} = \frac{\frac{3}{10} \times \frac{3}{5}}{\frac{3}{10} \times \frac{3}{5}+\frac{2}{10} \times \frac{2}{5}} = \frac{9}{9+4} = \frac{9}{13}$
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