तीन सिक्कों को उछाला गया है। मान लें E घटना तीन चित या तीन पट प्राप्त होना और F घटना न्यूनतम दो चित प्राप्त होना और G घटना अधिकतम दो पट प्राप्त होना को निरूपित करते हैं। युग्म (E, F), (E, G) और (F, G) में कौन-कौन से स्वतंत्र हैं? कौन-कौन से पराश्रित हैं?
example-12
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परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि है:
S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}
स्पष्टतया E = {HHH, TTT}, F = {HHH, HHT, HTH, THH}
और G = {HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}
साथ ही $\mathrm{E} \cap \mathrm{F}$ = {HHH}, $ \mathrm{E} \cap \mathrm{G}$ = {TTT}, $ \mathrm{F} \cap \mathrm{G}$ = {HHT, HTH, THH}
इसलिए P(E) = $\frac{2}{8}=\frac{1}{4}, $ $\mathrm{P}(\mathrm{F})=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}, $ $\mathrm{P}(\mathrm{G})=\frac{7}{8} $
$\mathrm{P}(\mathrm{E} \cap \mathrm{F})=\frac{1}{8}, \mathrm{P}(\mathrm{E} \cap \mathrm{G})=\frac{1}{8}$, $\mathrm{P}(\mathrm{F} \cap \mathrm{G})=\frac{3}{8} $
साथ ही $\mathrm{P}(\mathrm{E}) \cdot \mathrm{P}(\mathrm{F})=\frac{1}{4} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}, $ $\mathrm{P}(\mathrm{E}) \cdot \mathrm{P}(\mathrm{G})=\frac{1}{4} \times \frac{7}{8}=\frac{7}{32}$ और $ \mathrm{P}(\mathrm{F}) \cdot \mathrm{P}(\mathrm{G})=\frac{1}{2} \times \frac{7}{8}=\frac{7}{16}$
अतः $\mathrm{P}(\mathrm{E} \cap \mathrm{F})=\mathrm{P}(\mathrm{E}) \cdot \mathrm{P}(\mathrm{F})$
$\mathrm{P}(\mathrm{E} \cap \mathrm{G}) \neq \mathrm{P}(\mathrm{E}) \cdot \mathrm{P}(\mathrm{G})$
और $\mathrm{P}(\mathrm{F} \cap \mathrm{G}) \neq \mathrm{P}(\mathrm{F}) \cdot \mathrm{P}(\mathrm{G})$
इसलिए घटनाएँ (E और F) स्वतंत्र हैं जबकी घटनाएँ (F और G) और (E और G) पराश्रित हैं।
S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}
स्पष्टतया E = {HHH, TTT}, F = {HHH, HHT, HTH, THH}
और G = {HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}
साथ ही $\mathrm{E} \cap \mathrm{F}$ = {HHH}, $ \mathrm{E} \cap \mathrm{G}$ = {TTT}, $ \mathrm{F} \cap \mathrm{G}$ = {HHT, HTH, THH}
इसलिए P(E) = $\frac{2}{8}=\frac{1}{4}, $ $\mathrm{P}(\mathrm{F})=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}, $ $\mathrm{P}(\mathrm{G})=\frac{7}{8} $
$\mathrm{P}(\mathrm{E} \cap \mathrm{F})=\frac{1}{8}, \mathrm{P}(\mathrm{E} \cap \mathrm{G})=\frac{1}{8}$, $\mathrm{P}(\mathrm{F} \cap \mathrm{G})=\frac{3}{8} $
साथ ही $\mathrm{P}(\mathrm{E}) \cdot \mathrm{P}(\mathrm{F})=\frac{1}{4} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}, $ $\mathrm{P}(\mathrm{E}) \cdot \mathrm{P}(\mathrm{G})=\frac{1}{4} \times \frac{7}{8}=\frac{7}{32}$ और $ \mathrm{P}(\mathrm{F}) \cdot \mathrm{P}(\mathrm{G})=\frac{1}{2} \times \frac{7}{8}=\frac{7}{16}$
अतः $\mathrm{P}(\mathrm{E} \cap \mathrm{F})=\mathrm{P}(\mathrm{E}) \cdot \mathrm{P}(\mathrm{F})$
$\mathrm{P}(\mathrm{E} \cap \mathrm{G}) \neq \mathrm{P}(\mathrm{E}) \cdot \mathrm{P}(\mathrm{G})$
और $\mathrm{P}(\mathrm{F} \cap \mathrm{G}) \neq \mathrm{P}(\mathrm{F}) \cdot \mathrm{P}(\mathrm{G})$
इसलिए घटनाएँ (E और F) स्वतंत्र हैं जबकी घटनाएँ (F और G) और (E और G) पराश्रित हैं।
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