एक बहु-विकल्पीय परीक्षा में 5 प्रश्न हैं जिनमें प्रत्येक के तीन संभावित उत्तर हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि एक विद्यार्थी केवल अनुमान लगा कर चार या अधिक प्रश्नों के सही उत्तर दे देगा?
Exercise-13.5-9
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मान लीजिए X विद्यार्थी द्वारा सहीं उत्तर दिये जाने की संख्या को निरूपित करता हैं। यह n = 5 के लिए बरनौली परीक्षण हैं जहाँ तीन संभावित उत्तरों में से सही उत्तर का अनुमान लगाना एक सफलता है।
$\therefore$ p = $\frac{1}{3}$ तथा q = 1 - p = 1 - $\frac{1}{3}$ = $\frac{2}{3}$
स्पष्टतः x बंटन n = 5, p = $\frac{1}{3}$ तथा q = $\frac{2}{3}$ वाला एक द्विपद बंटन है।
P(X = r) = ${ }^{5} C_{r}\left(\frac{1}{3}\right)^{r}$$ \cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{5-r}$
अभीष्ट प्रायिकता = P (चार या अधिक प्रश्नों के सही उत्तर हैं)
= P(X $ \geq$ 4) = P(4) + P(5)
= $ { }^{5} C_{4} p^{4} q$ + ${ }^{5} C_{5} p^{5} q^{0}$ = ${ }^{5} C_{4}\left(\frac{1}{3}\right)^{4} $$\frac{2}{3}+{ }^{5} C_{5}$$\left(\frac{1}{3}\right)^{5}$$ \cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{0} $
= 5 $\times $$\frac{2}{3}$$ \times \frac{1}{3^{4}}$$+\frac{1}{3^{5}}$ = $\frac{11}{3^{5}}$ = $\frac{11}{243}$
$\therefore$ p = $\frac{1}{3}$ तथा q = 1 - p = 1 - $\frac{1}{3}$ = $\frac{2}{3}$
स्पष्टतः x बंटन n = 5, p = $\frac{1}{3}$ तथा q = $\frac{2}{3}$ वाला एक द्विपद बंटन है।
P(X = r) = ${ }^{5} C_{r}\left(\frac{1}{3}\right)^{r}$$ \cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{5-r}$
अभीष्ट प्रायिकता = P (चार या अधिक प्रश्नों के सही उत्तर हैं)
= P(X $ \geq$ 4) = P(4) + P(5)
= $ { }^{5} C_{4} p^{4} q$ + ${ }^{5} C_{5} p^{5} q^{0}$ = ${ }^{5} C_{4}\left(\frac{1}{3}\right)^{4} $$\frac{2}{3}+{ }^{5} C_{5}$$\left(\frac{1}{3}\right)^{5}$$ \cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{0} $
= 5 $\times $$\frac{2}{3}$$ \times \frac{1}{3^{4}}$$+\frac{1}{3^{5}}$ = $\frac{11}{3^{5}}$ = $\frac{11}{243}$
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