सिद्ध कीजिए कि यदि E और F दो स्वतंत्र घटनाएँ हैं तो E और $\mathrm{F}^{\prime}$ भी स्वतंत्र होंगी।
example-13
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क्योंकि E तथा F स्वतंत्र है, इसलिए
$\mathrm{P}(\mathrm{E} \cap \mathrm{F})$ = $\mathrm{P}(\mathrm{E}) . \mathrm{P}(\mathrm{F}$) ...(i)
चित्र के वेन-आरेख से यह स्पष्ट है कि $ \mathrm{E} \cap \mathrm{F}$ और $\mathrm{E} \cap \mathrm{F}^{\prime}$ परस्पर अपवर्जी हैं और साथ ही E = $(\mathrm{E} \cap \mathrm{F}) \cup\left(\mathrm{E} \cap \mathrm{F}^{\prime}\right)$ क्योंकि $\mathrm{E} \cap \mathrm{F}$ और $\mathrm{E} \cap \mathrm{F}^{\prime}$ परस्पर अपवर्जी हैं,
इसलिए $ \mathrm{P}(\mathrm{E})=\mathrm{P}(\mathrm{E} \cap$ $\mathrm{F})+\mathrm{P}\left(\mathrm{E} \cap \mathrm{F}^{\prime}\right)$
या $P\left(E \cap F^{\prime}\right)=P(E)-P(E \cap F)$
$=\mathrm{P}(\mathrm{E})-\mathrm{P}(\mathrm{E}) \cdot \mathrm{P}(\mathrm{F})$ (1) से
= $\mathrm{P}(\mathrm{E})[1-\mathrm{P}(\mathrm{F}]$
= $\mathrm{P}(\mathrm{E}) \cdot \mathrm{P}\left(\mathrm{F}^{\prime}\right)$
अतः E और $\mathrm{F}^{\prime}$ स्बतंत्र घटनाएँ हैं।
$\mathrm{P}(\mathrm{E} \cap \mathrm{F})$ = $\mathrm{P}(\mathrm{E}) . \mathrm{P}(\mathrm{F}$) ...(i)
चित्र के वेन-आरेख से यह स्पष्ट है कि $ \mathrm{E} \cap \mathrm{F}$ और $\mathrm{E} \cap \mathrm{F}^{\prime}$ परस्पर अपवर्जी हैं और साथ ही E = $(\mathrm{E} \cap \mathrm{F}) \cup\left(\mathrm{E} \cap \mathrm{F}^{\prime}\right)$ क्योंकि $\mathrm{E} \cap \mathrm{F}$ और $\mathrm{E} \cap \mathrm{F}^{\prime}$ परस्पर अपवर्जी हैं,
इसलिए $ \mathrm{P}(\mathrm{E})=\mathrm{P}(\mathrm{E} \cap$ $\mathrm{F})+\mathrm{P}\left(\mathrm{E} \cap \mathrm{F}^{\prime}\right)$
या $P\left(E \cap F^{\prime}\right)=P(E)-P(E \cap F)$
$=\mathrm{P}(\mathrm{E})-\mathrm{P}(\mathrm{E}) \cdot \mathrm{P}(\mathrm{F})$ (1) से
= $\mathrm{P}(\mathrm{E})[1-\mathrm{P}(\mathrm{F}]$
= $\mathrm{P}(\mathrm{E}) \cdot \mathrm{P}\left(\mathrm{F}^{\prime}\right)$
अतः E और $\mathrm{F}^{\prime}$ स्बतंत्र घटनाएँ हैं।
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