$100 \ cm^3$ आयतन वाले डिब्बे सभी बंद बेलनाकार $($लंब वृत्तीय$)$ डिब्बों में से न्यूनतम पृष्ठ क्षेत्रफल वाले डिब्बे की विमाएँ ज्ञात किजिए।
Exercise-6.5-21
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मान लीजिए कि $r$ बेलनाकार डिब्बे के आधार कि त्रिज्या है और $h$ इसकी ऊँचाई है। पुन: मान लीजिए कि इसकी पृष्ठ क्षेत्रफल $S$ और आयतन $V$ है। तब, $V = 100$ सेमी$^3 ($दिया है$)$
$\Rightarrow \pi r^{2} h = 100 h = \frac{100}{\pi r^{2}}$
$\Rightarrow h = \frac{100}{\pi r^{2}}$
$\Rightarrow ...(i)$
और $S = 2 \pi r^{2} + 2 \pi rh ...(ii)$
समी $(i)$ से $h$ का मान समी $(ii)$ में रखने पर,
$S = 2 \pi r^{2} + 2 \pi r \left(\frac{100}{\pi r^{2}}\right)$
$= 2 \pi r^{2} + \frac{200}{r}...(iii) $
समी $(iii)$ को $r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d S}{d r} = 4 \pi r - \frac{200}{r^{2}} ...(iv)$
अब, उच्चतम और न्यूनतम मान के लिए $\frac{d S}{d r} = 0$ रखने पर,
$\Rightarrow 4 \pi r = \frac{200}{r^{2}}$
$ \Rightarrow r^3 = \frac{200}{4 \pi}$
$\Rightarrow r = \left(\frac{50}{\pi}\right)^{1 / 3}$
समी $(iv)$ को $r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d^{2} S}{d r^{2}} = 4 \pi + \frac{400}{r^{3}}$
$r = \left(\frac{50}{\pi}\right)^{1 / 3}$ पर, $ \frac{d^{2} S}{d r^{2}}$
$= \frac{400}{\left(\frac{50}{\pi}\right)} + 4 \pi$
$= \frac{400}{50} \times$
$\pi + 4 \pi= 8 \pi + 4 \pi = 12 \pi > 0$
$\therefore$ द्वितीय अवकलन परीक्षण द्वारा, पृष्ठ क्षेत्रफल न्यूनतम तब होगा। जब बेलन की त्रिज्या $\left(\frac{50}{\pi}\right)^{1 / 3}$ हो, इसलिए S न्यूनतम होगा, जब $r = \left(\frac{50}{\pi}\right)^{1 / 3}$ हो।
$r$ का मान समी $(i)$ में रखने पर,
$h = \frac{100}{\pi\left(\frac{50}{\pi}\right)^{2 / 3}}$
$= 2 \left(\frac{50}{\pi}\right)$$\left(\frac{50}{\pi}\right)^{-2 / 3}$
$= 2 \left(\frac{50}{\pi}\right)^{1 / 3}$ सेमी
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