एक वृत्त और एक वर्ग के परिमापों का योग k है, जहाँ k एक अचर है। सिद्ध कीजिए कि उनके क्षेत्रफलों का योग निम्नतम है, जब वर्ग की भुजा वृत्त की त्रिज्या की दुगुनी है।
Miscellaneous Exercise-10
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मान लीजिए कि वर्ग की भुजा x और r वृत्त की त्रिज्या है।
$\therefore$ वृत्त की परिधि = 2$ \pi$r और वर्ग का परिमाप = 4x
दिया है, 2 $\pi $r + 4x = k $\Rightarrow $ x = $\frac{k-2 \pi r}{4}$ ...(i)
$ \therefore$ A = $ x^{2}+\pi r^{2}$ = $\left(\frac{k-2 \pi r}{4}\right)^{2}$ + $ \pi r^{2}$ = $ \left(\frac{1}{16}\right)$ $\left(k^{2}-4 k \pi r+4 \pi^{2} r^{2}\right)$ + $\pi r^{2} $
r के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d A}{d r}$ = $\left(\frac{1}{16}\right)$ $\left(-4 k \pi+8 \pi^{2} r\right)$ + $2 \pi r$
पुनः से r के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d^{2} A}{d r^{2}}$ = $ \frac{1}{16}$ $\left(0+8 \pi^{2}\right)$ + 2$ \pi$ = 2 $ \pi$ + $\frac{\pi^{2}}{2}$ > 0
उच्चतम और निम्नतम मान के लिए $\frac{d A}{d r}$ = 0 रखने पर,
$\Rightarrow $ 2 $\pi$r - $ \frac{4 k \pi}{16}$ + $\frac{8 \pi^{2} r}{16}$ = 0
$\Rightarrow $ r $ \left(2 \pi+\frac{\pi^{2}}{2}\right)$ = $\frac{k \pi}{4}$
$\Rightarrow $ r = $ \frac{\left(\frac{k \pi}{4}\right)}{2 \pi+\frac{\pi^{2}}{2}}$ = $\frac{k}{8+2 \pi} $ ...(ii)
अब, $\left(\frac{d^{2} A}{d r^{2}}\right)_{\left(r=\frac{k}{8+2 \pi}\right)}$ = धनात्मक
$\therefore$ जब r = $ \frac{k}{8+2 \pi}$ हो, तो A निम्नतम होगा
और इसे समी (i) में रखने पर,
x = $\frac{k-2 \pi r}{4}$ = $\frac{1}{4}\left(k-2 \pi \times \frac{k}{8+2 \pi}\right)$ = $\frac{1}{4}$ $\left(\frac{8 k+2 \pi k-2 \pi k}{8+2 \pi}\right)$
= $\frac{2 k}{8+2 \pi}$ = 2 $\left(\frac{k}{8+2 \pi}\right) $= 2r [समी (ii) से]
इसलिए, जब वर्ग की भुजा वृत्त की त्रिज्या की दोगुनी हो, तो उनके क्षेत्रफलों का योग निम्नतम होगा।
$\therefore$ वृत्त की परिधि = 2$ \pi$r और वर्ग का परिमाप = 4x
दिया है, 2 $\pi $r + 4x = k $\Rightarrow $ x = $\frac{k-2 \pi r}{4}$ ...(i)
$ \therefore$ A = $ x^{2}+\pi r^{2}$ = $\left(\frac{k-2 \pi r}{4}\right)^{2}$ + $ \pi r^{2}$ = $ \left(\frac{1}{16}\right)$ $\left(k^{2}-4 k \pi r+4 \pi^{2} r^{2}\right)$ + $\pi r^{2} $
r के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d A}{d r}$ = $\left(\frac{1}{16}\right)$ $\left(-4 k \pi+8 \pi^{2} r\right)$ + $2 \pi r$
पुनः से r के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d^{2} A}{d r^{2}}$ = $ \frac{1}{16}$ $\left(0+8 \pi^{2}\right)$ + 2$ \pi$ = 2 $ \pi$ + $\frac{\pi^{2}}{2}$ > 0
उच्चतम और निम्नतम मान के लिए $\frac{d A}{d r}$ = 0 रखने पर,
$\Rightarrow $ 2 $\pi$r - $ \frac{4 k \pi}{16}$ + $\frac{8 \pi^{2} r}{16}$ = 0
$\Rightarrow $ r $ \left(2 \pi+\frac{\pi^{2}}{2}\right)$ = $\frac{k \pi}{4}$
$\Rightarrow $ r = $ \frac{\left(\frac{k \pi}{4}\right)}{2 \pi+\frac{\pi^{2}}{2}}$ = $\frac{k}{8+2 \pi} $ ...(ii)
अब, $\left(\frac{d^{2} A}{d r^{2}}\right)_{\left(r=\frac{k}{8+2 \pi}\right)}$ = धनात्मक
$\therefore$ जब r = $ \frac{k}{8+2 \pi}$ हो, तो A निम्नतम होगा
और इसे समी (i) में रखने पर,
x = $\frac{k-2 \pi r}{4}$ = $\frac{1}{4}\left(k-2 \pi \times \frac{k}{8+2 \pi}\right)$ = $\frac{1}{4}$ $\left(\frac{8 k+2 \pi k-2 \pi k}{8+2 \pi}\right)$
= $\frac{2 k}{8+2 \pi}$ = 2 $\left(\frac{k}{8+2 \pi}\right) $= 2r [समी (ii) से]
इसलिए, जब वर्ग की भुजा वृत्त की त्रिज्या की दोगुनी हो, तो उनके क्षेत्रफलों का योग निम्नतम होगा।
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