दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $ \frac{y^{2}}{b^{2}}$ = 1 के अंतर्गत उस समद्विबाहु त्रिभुज का महत्तम क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका शीर्ष दीर्घ अक्ष का एक सिरा है।
Miscellaneous Exercise-8
Download our app for free and get started
मान लीजिए कि दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x}{a^{2}}$ + $ \frac{y}{b^{2}}$ = 1 है, तब कोई बिंदु P दीर्घवृत्त पर (a cos $\theta$, b sin $\theta$) है।
P से PM$ \perp$OX खींचिए और इसे आगे बढ़ाकर दीर्घवृत्त से Q पर मिलाए, तब $\triangle$APQ एक समद्विबाहु त्रिभुज है, मान लीजिए कि S इसका क्षेत्रफल है, तब
S = 2 $\times$ $\frac{1}{2}$ $\times$ AM $\times$ MP = (OA - OM) $\times$ MP
= (a - a cos $\theta$) $\cdot$ b sin$\theta$
$\Rightarrow $ S = a b(sin $\theta$ - sin $\theta$ a cos $\theta$) = ab (sin $\theta$ -$ \frac{1}{2}$ sin 2$\theta$)
$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d S}{d \theta}$ = a b(cos $\theta$ - cos 2$\theta$)
पुनः $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d^{2} S}{d \theta^{2}}$ = ab(- sin $\theta$ + 2 sin 2$\theta$)
उच्चतम और निम्नतम मान के लिए $ \frac{d S}{d \theta}$ = 0 रखने पर,
$\Rightarrow$ cos $\theta$ = cos 2$\theta$ $\Rightarrow$ 2 $\theta$ = 2$ \pi$ - $\theta$ $\Rightarrow$ $\theta$ = $\frac{2 \pi}{3}$
$\theta$ = $\frac{2 \pi}{3}$ पर, $ \left(\frac{d^{2} S}{d \theta^{2}}\right)_{\theta}$ = ab$\left[-\sin \frac{2 \pi}{3}+2 \sin \left(2 \times \frac{2 \pi}{3}\right)\right]$
= ab[- sin $ \left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)+2 \sin \left(\pi+\frac{\pi}{3}\right)$]
= ab(- sin $ \frac{\pi}{3}$ - 2 sin $ \frac{\pi}{3}$) [$\because $ sin ($\pi$ - $\frac{\pi}{3}$) = sin $ \frac{\pi}{3} $, sin ($\pi$ + $\frac{\pi}{3}$) = $\frac{-\sin \pi}{3} $]
= ab (- $ \frac{\sqrt{3}}{2}$ - $\frac{2 \sqrt{3}}{2}$ ) = ab ($\frac{-3 \sqrt{3}}{2}$)
= $\frac{-3 \sqrt{3} a b}{2}$ < 0
$\therefore $ जब $\theta$ = $ \frac{2 \pi}{3}$ हो, तो S उच्चतम है
और S के उच्चतम मान S = ab $\left(\sin \frac{2 \pi}{3}-\frac{1}{2} \cdot 2 \sin \frac{2 \pi}{3} \cos \frac{2 \pi}{3}\right)$ ($\because$ sin 2 $\theta$ = 2 sin $\theta$ cos $\theta$)
= ab$\left[\sin \left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)-\sin \left(\pi-\frac{\pi}{3}\right) \cos \left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)\right]$
= ab $\left[\sin \frac{\pi}{3}-\sin \frac{\pi}{3} \times\left(-\cos \frac{\pi}{3}\right)\right]$
= ab $\left(\sin \frac{\pi}{3}+\sin \frac{\pi}{3} \cos \frac{\pi}{3}\right)$= ab$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{2}\right)$
= ab $\left(\frac{2 \sqrt{3}+\sqrt{3}}{4}\right)$ = $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ab वर्ग इकाई
अतः समद्विबाहु त्रिभुज का उच्चतम क्षेत्रफल $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ab वर्ग इकाई है।
P से PM$ \perp$OX खींचिए और इसे आगे बढ़ाकर दीर्घवृत्त से Q पर मिलाए, तब $\triangle$APQ एक समद्विबाहु त्रिभुज है, मान लीजिए कि S इसका क्षेत्रफल है, तब
S = 2 $\times$ $\frac{1}{2}$ $\times$ AM $\times$ MP = (OA - OM) $\times$ MP
= (a - a cos $\theta$) $\cdot$ b sin$\theta$
$\Rightarrow $ S = a b(sin $\theta$ - sin $\theta$ a cos $\theta$) = ab (sin $\theta$ -$ \frac{1}{2}$ sin 2$\theta$)
$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d S}{d \theta}$ = a b(cos $\theta$ - cos 2$\theta$)
पुनः $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d^{2} S}{d \theta^{2}}$ = ab(- sin $\theta$ + 2 sin 2$\theta$)
उच्चतम और निम्नतम मान के लिए $ \frac{d S}{d \theta}$ = 0 रखने पर,
$\Rightarrow$ cos $\theta$ = cos 2$\theta$ $\Rightarrow$ 2 $\theta$ = 2$ \pi$ - $\theta$ $\Rightarrow$ $\theta$ = $\frac{2 \pi}{3}$
$\theta$ = $\frac{2 \pi}{3}$ पर, $ \left(\frac{d^{2} S}{d \theta^{2}}\right)_{\theta}$ = ab$\left[-\sin \frac{2 \pi}{3}+2 \sin \left(2 \times \frac{2 \pi}{3}\right)\right]$
= ab[- sin $ \left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)+2 \sin \left(\pi+\frac{\pi}{3}\right)$]
= ab(- sin $ \frac{\pi}{3}$ - 2 sin $ \frac{\pi}{3}$) [$\because $ sin ($\pi$ - $\frac{\pi}{3}$) = sin $ \frac{\pi}{3} $, sin ($\pi$ + $\frac{\pi}{3}$) = $\frac{-\sin \pi}{3} $]
= ab (- $ \frac{\sqrt{3}}{2}$ - $\frac{2 \sqrt{3}}{2}$ ) = ab ($\frac{-3 \sqrt{3}}{2}$)
= $\frac{-3 \sqrt{3} a b}{2}$ < 0
$\therefore $ जब $\theta$ = $ \frac{2 \pi}{3}$ हो, तो S उच्चतम है
और S के उच्चतम मान S = ab $\left(\sin \frac{2 \pi}{3}-\frac{1}{2} \cdot 2 \sin \frac{2 \pi}{3} \cos \frac{2 \pi}{3}\right)$ ($\because$ sin 2 $\theta$ = 2 sin $\theta$ cos $\theta$)
= ab$\left[\sin \left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)-\sin \left(\pi-\frac{\pi}{3}\right) \cos \left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)\right]$
= ab $\left[\sin \frac{\pi}{3}-\sin \frac{\pi}{3} \times\left(-\cos \frac{\pi}{3}\right)\right]$
= ab $\left(\sin \frac{\pi}{3}+\sin \frac{\pi}{3} \cos \frac{\pi}{3}\right)$= ab$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{2}\right)$
= ab $\left(\frac{2 \sqrt{3}+\sqrt{3}}{4}\right)$ = $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ab वर्ग इकाई
अतः समद्विबाहु त्रिभुज का उच्चतम क्षेत्रफल $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ab वर्ग इकाई है।
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1आयताकार आधार व आयताकार दीवारों की $2 m$ गहरी और $8 m^3$ आयतन की एक बिना ढक्कन की टंकी का निर्माण करना है। यदि टंकी के निर्माण में आधार के लिए $Rs. 70/m^2$ और दीवारों पर $Rs. 45 /m^2$ व्यय आता है तो निम्नतम खर्च से बनी टंकी की लागत क्या है?View Solution
- 2सिद्ध कीजिए कि एक $R$ त्रिज्या के गोले के अंतर्गत अधिकतम आयतन के बेलन की ऊँचाई $\frac{2 \mathrm{R}}{\sqrt{3}}$ है। अधिकतम आयतन भी ज्ञात कीजिए।View Solution
- 3View Solutionसिद्ध किजिए कि प्रदत्त पृष्ठ एवं महत्तम आयतन के बेलन की ऊँचाई, आधार के व्यास के बराबर होती है।
- 4$100 \ cm^3$ आयतन वाले डिब्बे सभी बंद बेलनाकार $($लंब वृत्तीय$)$ डिब्बों में से न्यूनतम पृष्ठ क्षेत्रफल वाले डिब्बे की विमाएँ ज्ञात किजिए।View Solution
- 5View Solutionसिद्ध कीजिए कि एक शंकु के अंतर्गत महत्तम वक्रपृष्ठ वाले लंब वृत्तीय बेलन की त्रिज्या शंकु की त्रिज्या की आधी होती है।
- 6त्रिभुज की भुजाओं से a और b दूरी पर त्रिभुज के कर्ण पर स्थित एक बिंदु है। सिद्ध कीजिए कि कर्ण की न्यूनतम लंबाई $ \left(a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}$ है।View Solution
- 7View Solutionसिद्ध कीजिए कि एक दिए वृत के अंतर्गत सभी आयतों में वर्ग का क्षेत्रफल उच्चतम होता है।
- 8एक $28 \ cm$ लंबे तार को दो टुकड़ों में विभक्त किया जाना है। एक टुकड़े से वर्ग तथा दूसरे वे वृत्त बनाया जाना है। दोनों टुकड़ों की लंबायीं कितनी होनी चाहिए जिससे वर्ग एवं वृत्त का सम्मिलित क्षेत्रफल न्यूनतम हो?View Solution
- 9सिद्ध कीजिए कि दी हुई तिर्यक ऊँचाई और महत्तम आयतन वाले शंकु का अर्ध शीर्ष कोण $\tan ^{-1}\sqrt{2}$ होता है।View Solution
- 10View Solutionकिसी आयत के ऊपर बने अर्धवृत्त के आकार वाली खिड़की है। खिड़की का संपूर्ण परिमाप 10 m है। पूर्णतया खुली खिड़की से अधिकतम प्रकाश आने के लिए खिड़की की विमाएँ ज्ञात कीजिए।