आयताकार आधार व आयताकार दीवारों की $2 m$ गहरी और $8 m^3$ आयतन की एक बिना ढक्कन की टंकी का निर्माण करना है। यदि टंकी के निर्माण में आधार के लिए $Rs. 70/m^2$ और दीवारों पर $Rs. 45 /m^2$ व्यय आता है तो निम्नतम खर्च से बनी टंकी की लागत क्या है?
Miscellaneous Exercise-9
Download our app for free and get started
मान लीजिए टंकी की लंबाई $x$ मी और चौड़ाई $y$ मी है तथा टंकी की गहराई $2$ मी है।
$\therefore$ टंकी का आयतन $= 2 \times x \times y$
$\Rightarrow 2xy = 8 ($दिया है, टंकी का आयतन $= 8$ मी$^3)$
$\Rightarrow xy = 4 $
$\Rightarrow y=\frac{4}{x} ...(i)$
पुनः, आधार का क्षेत्रफल $= xy = x \times \frac{4}{x}=4$
तथा चार किनारों का क्षेत्रफल $= 2x + 2y + 2x + 2y = 4x + 4y = 4(x + y)$
यह दिया गया है कि टंकी के निर्माण में आधार के लिए ₹ $70$मी$^2$ और दीवारों पर ₹ $45$मी$^2$ व्यय आता है।
इसलिए, निर्माण का व्यय, $C = ₹[70 \times xy + 45 \times 4(x + y)]$
$= ₹[70xy + 180(x + y)] ...(ii)$
समी. $(i)$ से $y$ का मान समी. $(ii)$ में रखने पर,
$C = 70 \times 4 + 180\left(x+\frac{4}{x}\right) = 180\left(\frac{x^{2}-4}{x^{2}}\right) ...(iii)$
निम्नतम व्यय के लिए $\frac{d C}{d x}=0$ रखने पर,
$\Rightarrow 180\left(\frac{x^{2}-4}{x^{2}}\right)=0$
$\Rightarrow x^{2}=4$
$\Rightarrow x = \pm2$
$x = 2$ पर,$ \frac{d C}{d x}$ अपना चिन्ह ऋणात्मक से धनात्मक परिवर्तित करता है।
$\therefore x = 2$ पर $C$ न्यूनतम है।
$($टंकी की लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती है इसलिए, हम $x = -2$ नहीं लेंगे$)$
$x = 2 और y=\frac{4}{x}=\frac{4}{2}=2$
इसलिए, टंकी एक $2$ मी भुजा वाली घन है।
समी. $(iii)$ से निर्माण में न्यनतम व्यय
$=₹\left[280+180\left(2+\frac{4}{2}\right)\right] = ₹[280 + 720] = ₹ 1000$
$\therefore$ टंकी का आयतन $= 2 \times x \times y$
$\Rightarrow 2xy = 8 ($दिया है, टंकी का आयतन $= 8$ मी$^3)$
$\Rightarrow xy = 4 $
$\Rightarrow y=\frac{4}{x} ...(i)$
पुनः, आधार का क्षेत्रफल $= xy = x \times \frac{4}{x}=4$
तथा चार किनारों का क्षेत्रफल $= 2x + 2y + 2x + 2y = 4x + 4y = 4(x + y)$
यह दिया गया है कि टंकी के निर्माण में आधार के लिए ₹ $70$मी$^2$ और दीवारों पर ₹ $45$मी$^2$ व्यय आता है।
इसलिए, निर्माण का व्यय, $C = ₹[70 \times xy + 45 \times 4(x + y)]$
$= ₹[70xy + 180(x + y)] ...(ii)$
समी. $(i)$ से $y$ का मान समी. $(ii)$ में रखने पर,
$C = 70 \times 4 + 180\left(x+\frac{4}{x}\right) = 180\left(\frac{x^{2}-4}{x^{2}}\right) ...(iii)$
निम्नतम व्यय के लिए $\frac{d C}{d x}=0$ रखने पर,
$\Rightarrow 180\left(\frac{x^{2}-4}{x^{2}}\right)=0$
$\Rightarrow x^{2}=4$
$\Rightarrow x = \pm2$
$x = 2$ पर,$ \frac{d C}{d x}$ अपना चिन्ह ऋणात्मक से धनात्मक परिवर्तित करता है।
$\therefore x = 2$ पर $C$ न्यूनतम है।
$($टंकी की लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती है इसलिए, हम $x = -2$ नहीं लेंगे$)$
$x = 2 और y=\frac{4}{x}=\frac{4}{2}=2$
इसलिए, टंकी एक $2$ मी भुजा वाली घन है।
समी. $(iii)$ से निर्माण में न्यनतम व्यय
$=₹\left[280+180\left(2+\frac{4}{2}\right)\right] = ₹[280 + 720] = ₹ 1000$
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1$3 \ cm$ त्रिज्या की एक वृत्ताकार डिस्क को गर्म किया जाता है। प्रसार के कारण इसकी त्रिज्या $0.05 \ cm/s$ की दर से बढ़ रही है। वह दर ज्ञात कीजिए जिससे इसका क्षेत्रफल बढ़ रहा है जब इसकी त्रिज्या $3.2 \ cm$ है।View Solution
- 2सिद्ध कीजिए कि एक $r$ त्रिज्या के गोले के अंतर्गत उच्चतम आयतन के लंबवृत्तीय शंकु की ऊँचाई $\frac{4 r}{3}$ है।View Solution
- 3View Solutionसिद्ध कीजिए कि एक शंकु के अंतर्गत महत्तम वक्रपृष्ठ वाले लंब वृत्तीय बेलन की त्रिज्या शंकु की त्रिज्या की आधी होती है।
- 4$f(x) = \cos^2 x + \sin x, x \in [0, \pi]$ द्वारा प्रदत्त फलन $f$ का निरपेक्ष उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।View Solution
- 5ऐल्यूमिनियम की $3m \times 8 m$ की आयताकार चादर के प्रत्येक कोने से समान वर्ग काटने पर बने एल्यूमिनियम के फलकों को मोड़कर ढक्कन रहित एक संदूक बनाना है। इस प्रकार बने संदूक का अधिकतम आयतन ज्ञात कीजिए।View Solution
- 6एक कार समय $t = 0$ पर बिंदु $P$ से चलना प्रारंभ करके बिंदु $Q$ पर रुक जाती है। कार द्वारा $t$ सेकंड में तय की दूरी$, x$ मीटर में $x = t^2 \left(2-\frac{t}{3}\right)$ द्वारा प्रदत्त है। कार को $Q$ तक पहुँचने में लगा समय ज्ञात कीजिए और $P$ तथा $Q$ के बीच की दूरी भी ज्ञात कीजिए।View Solution
- 7एक $28 \ cm$ लंबे तार को दो टुकड़ों में विभक्त किया जाना है। एक टुकड़े से वर्ग तथा दूसरे वे वृत्त बनाया जाना है। दोनों टुकड़ों की लंबायीं कितनी होनी चाहिए जिससे वर्ग एवं वृत्त का सम्मिलित क्षेत्रफल न्यूनतम हो?View Solution
- 8पानी की एक टंकी का आकार, उर्ध्वाधर अक्ष वाले एक उल्टे लंब वृत्तीय शंकु है जिसका शीर्ष नीचे है। इसका अर्द्ध शीर्ष कोण $\tan^{-1}(0.5)$ है। इसमें $5 m^3 / min$ की दर से पानी भरा जाता है। पानी के स्तर के बढ़ने की दर उस क्षण ज्ञात कीजिए जब टंकी में पानी की ऊँचाई $10 m$ है।View Solution
- 9किसी निश्चित आधार $b$ के एक समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाएँ $3 \ cm/s$ की दर से घट रहीं है। उस समय जब त्रिभुज की समान भुजाएँ आधार के बराबर हैं, उसका क्षेत्रफल कितनी तेजी से घट रहा है।View Solution
- 10$100 \ cm^3$ आयतन वाले डिब्बे सभी बंद बेलनाकार $($लंब वृत्तीय$)$ डिब्बों में से न्यूनतम पृष्ठ क्षेत्रफल वाले डिब्बे की विमाएँ ज्ञात किजिए।View Solution