सिद्ध कीजिए कि दिए हुए पृष्ठ और महत्तम आयतन वाले लंब वृत्तीय शंकु का अर्ध शीर्ष कोण $\sin^{-1} \left(\frac{1}{3}\right)$ होता है।
Exercise-6.5-26
Download our app for free and get started
दिया है कि लम्बवृत्तीय शंकु का सम्पूर्ण पृष्ठ क्षेत्रफल, $S = \pi r l+\pi r^{2}$
$\Rightarrow S = \pi r \sqrt{r^{2}+h^{2}}+\pi r^{2}$
$\Rightarrow S = \pi r \sqrt{r^{2}+h^{2}}+\pi r^{2} [\because l = \sqrt{r^{2}+h^{2}}]$
$\Rightarrow \frac{S}{\pi r}-r = \sqrt{r^{2}+h^{2}}$
$\Rightarrow \frac{S^{2}}{\pi^{2} r^{2}} - \frac{2 S}{\pi} = h^2$
$\Rightarrow h = \sqrt{\frac{S^{2}}{\pi^{2} r^{2}}-\frac{2 S}{\pi}}, (\because \frac{S^{2}}{\pi^{2} r^{2}} > \frac{2 S}{\pi}) ...(i)$
और आयतन, $V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h = \frac{1}{3} \pi r^{2} \sqrt{\frac{S^{2}}{\pi^{2} r^{2}}-\frac{2 S}{\pi}}$
$\Rightarrow V = \frac{r}{3} \sqrt{S^{2}-2 S \pi r^{2}}, r^2 < \frac{S}{2 \pi}$ अर्थात् $0 < r < \sqrt{\frac{S}{2 \pi}}$
अतः $V$ उच्चतम है, इसलिए $V^2$ उच्चतम है।
अब, $V^{2 }= \frac{S^{2} r^{2}}{9} - \frac{2 S \pi r^{4}}{9}, 0 < r < \sqrt{\frac{S}{2 \pi}}$
$\frac{d}{d r} \left(V^{2}\right) = \frac{2 r S^{2}}{9} - \frac{8 S \pi r^{3}}{9}$
और $\frac{d^{2}}{d r^{2}} \left(V^{2}\right) = \frac{2 S^{2}}{9} - \frac{24 S \pi r^{2}}{9}$
उच्चतम मान के लिए $\frac{d V}{d r} = 0$ रखने पर,
$\Rightarrow \frac{2 r S^{2}}{9} - \frac{8 S \pi r^{3}}{9} = 0$
$\Rightarrow r^{2 }= \frac{S}{4 \pi}$
$\Rightarrow r = \sqrt{\frac{S}{4 \pi}}$
यहाँ $r = \sqrt{\frac{S}{4 \pi}}$ के लिए $\frac{d^{2}\left(V^{2}\right)}{d r^{2}} < 0$
$V^{2 }$ उच्चतम है इसलिए जब $r = \sqrt{\frac{S}{4 \pi}}$ हो, तो $V$ उच्चतम है।
समी $(i)$ से $h = \sqrt{\frac{S^{2}}{\pi^{2} r^{2}}-\frac{2 S}{\pi}}$
$= \sqrt{\frac{S^{2}(4 \pi)}{\pi^{2} S}-\frac{2 S}{\pi}} = \sqrt{\frac{2 S}{\pi}}$
यदि $\theta$ शंकु का अर्द्धशीर्ष कोण है जब आयतन उच्चतम है, तब समकोण $\triangle AOC$ में
$\sin \theta = \frac{r}{\sqrt{r^{2}+h^{2}}} $
$= \frac{\sqrt{\frac{S}{4 \pi}}}{\sqrt{\frac{S}{4 \pi}+\frac{2 S}{\pi}}} $
$= \frac{1}{\sqrt{1+8}}$
अर्थात् $\theta = \sin ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$
$\Rightarrow S = \pi r \sqrt{r^{2}+h^{2}}+\pi r^{2}$
$\Rightarrow S = \pi r \sqrt{r^{2}+h^{2}}+\pi r^{2} [\because l = \sqrt{r^{2}+h^{2}}]$
$\Rightarrow \frac{S}{\pi r}-r = \sqrt{r^{2}+h^{2}}$
$\Rightarrow \frac{S^{2}}{\pi^{2} r^{2}} - \frac{2 S}{\pi} = h^2$
$\Rightarrow h = \sqrt{\frac{S^{2}}{\pi^{2} r^{2}}-\frac{2 S}{\pi}}, (\because \frac{S^{2}}{\pi^{2} r^{2}} > \frac{2 S}{\pi}) ...(i)$
और आयतन, $V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h = \frac{1}{3} \pi r^{2} \sqrt{\frac{S^{2}}{\pi^{2} r^{2}}-\frac{2 S}{\pi}}$
$\Rightarrow V = \frac{r}{3} \sqrt{S^{2}-2 S \pi r^{2}}, r^2 < \frac{S}{2 \pi}$ अर्थात् $0 < r < \sqrt{\frac{S}{2 \pi}}$
अतः $V$ उच्चतम है, इसलिए $V^2$ उच्चतम है।
अब, $V^{2 }= \frac{S^{2} r^{2}}{9} - \frac{2 S \pi r^{4}}{9}, 0 < r < \sqrt{\frac{S}{2 \pi}}$
$\frac{d}{d r} \left(V^{2}\right) = \frac{2 r S^{2}}{9} - \frac{8 S \pi r^{3}}{9}$
और $\frac{d^{2}}{d r^{2}} \left(V^{2}\right) = \frac{2 S^{2}}{9} - \frac{24 S \pi r^{2}}{9}$
उच्चतम मान के लिए $\frac{d V}{d r} = 0$ रखने पर,
$\Rightarrow \frac{2 r S^{2}}{9} - \frac{8 S \pi r^{3}}{9} = 0$
$\Rightarrow r^{2 }= \frac{S}{4 \pi}$
$\Rightarrow r = \sqrt{\frac{S}{4 \pi}}$
यहाँ $r = \sqrt{\frac{S}{4 \pi}}$ के लिए $\frac{d^{2}\left(V^{2}\right)}{d r^{2}} < 0$
$V^{2 }$ उच्चतम है इसलिए जब $r = \sqrt{\frac{S}{4 \pi}}$ हो, तो $V$ उच्चतम है।
समी $(i)$ से $h = \sqrt{\frac{S^{2}}{\pi^{2} r^{2}}-\frac{2 S}{\pi}}$
$= \sqrt{\frac{S^{2}(4 \pi)}{\pi^{2} S}-\frac{2 S}{\pi}} = \sqrt{\frac{2 S}{\pi}}$
यदि $\theta$ शंकु का अर्द्धशीर्ष कोण है जब आयतन उच्चतम है, तब समकोण $\triangle AOC$ में
$\sin \theta = \frac{r}{\sqrt{r^{2}+h^{2}}} $
$= \frac{\sqrt{\frac{S}{4 \pi}}}{\sqrt{\frac{S}{4 \pi}+\frac{2 S}{\pi}}} $
$= \frac{1}{\sqrt{1+8}}$
अर्थात् $\theta = \sin ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1मान लीजिए $[a, b]$ पर परिभाषित एक फलन $f$ है इस प्रकार कि सभी $x \in (a, b)$ के लिए $f^{\prime}(x) > 0$ है तो सिद्ध कीजिए कि $(a, b)$ पर $f$ एक वर्धमान फलन है।View Solution
- 2View Solutionकिसी आयत के ऊपर बने अर्धवृत्त के आकार वाली खिड़की है। खिड़की का संपूर्ण परिमाप 10 m है। पूर्णतया खुली खिड़की से अधिकतम प्रकाश आने के लिए खिड़की की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
- 3View Solution2 m ऊँचाई का आदमी 6 m ऊँचे बिजली के खंभे से दूर 5 km/ h की समान चाल से चलता है। उसकी छाया की लंबायीं की वृद्धि दर ज्ञात कीजिए।
- 4त्रिभुज की भुजाओं से a और b दूरी पर त्रिभुज के कर्ण पर स्थित एक बिंदु है। सिद्ध कीजिए कि कर्ण की न्यूनतम लंबाई $ \left(a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}$ है।View Solution
- 5सिद्ध कीजिए कि अर्द्धशीर्ष कोण $\alpha$ और ऊँचाई h के लंब वृत्तीय शंकु के अंतर्गत अधिकतम आयतन के बेलन की ऊँचाई, शंकु के ऊँचाई की एक तिहाई है और बेलन का अधिकतम आयतन $ \frac{4}{27} \pi h^{3}$ $\tan ^{2}$ $ \alpha$ है।View Solution
- 6$f(x) = \cos^2 x + \sin x, x \in [0, \pi]$ द्वारा प्रदत्त फलन $f$ का निरपेक्ष उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।View Solution
- 7सिद्ध कीजिए कि एक $r$ त्रिज्या के गोले के अंतर्गत उच्चतम आयतन के लंबवृत्तीय शंकु की ऊँचाई $\frac{4 r}{3}$ है।View Solution
- 8ऐल्यूमिनियम की $3m \times 8 m$ की आयताकार चादर के प्रत्येक कोने से समान वर्ग काटने पर बने एल्यूमिनियम के फलकों को मोड़कर ढक्कन रहित एक संदूक बनाना है। इस प्रकार बने संदूक का अधिकतम आयतन ज्ञात कीजिए।View Solution
- 9सिद्ध कीजिए कि एक $R$ त्रिज्या के गोले के अंतर्गत अधिकतम आयतन के बेलन की ऊँचाई $\frac{2 \mathrm{R}}{\sqrt{3}}$ है। अधिकतम आयतन भी ज्ञात कीजिए।View Solution
- 10पानी की एक टंकी का आकार, उर्ध्वाधर अक्ष वाले एक उल्टे लंब वृत्तीय शंकु है जिसका शीर्ष नीचे है। इसका अर्द्ध शीर्ष कोण $\tan^{-1}(0.5)$ है। इसमें $5 m^3 / min$ की दर से पानी भरा जाता है। पानी के स्तर के बढ़ने की दर उस क्षण ज्ञात कीजिए जब टंकी में पानी की ऊँचाई $10 m$ है।View Solution