शत्रु का एक अपाचे हेलिकॉप्टर वक्र $y = x^2+ 7$ के अनुदिश प्रदत्त पथ पर उड़ रहा है। बिंदु $(3, 7)$ पर स्थित एक सैनिक अपनी स्थिति से न्यूनतम दूरी पर उस हेलिकॉप्टर को गोली मारना चाहता है। न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
EXAMPLE-41
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$x$ के प्रत्येक मान के लिए हेलिकॉप्टर की स्थिति बिंदु $\left(x, x^{2}+7\right)$ है। इसलिए $(3, 7)$ पर स्थित सैनिक और हेलिकॉप्टर के बीच दूरी $ \sqrt{(x-3)^{2}+\left(x^{2}+7-7\right)^{2}},$ अर्थात् $\sqrt{(x-3)^{2}+x^{4}}$ है।
मान लीजिए कि $f(x) = (x - 3)^{2 }+ x^4$
या $f^{\prime}(x) = 2(x - 3) + 4x^3 = 2(x - 1) (2x^2+ 2x + 3)$
इसलिए $f^{\prime}(x) = 0$ से $x = 1$ प्राप्त होता है तथा $2x^2+ 2x + 3 = 0$ से कोई वास्तविक मूल प्राप्त नहीं होता है। पुनः अंतराल के अंत्य बिंदु भी नहीं है, जिन्हें उस समुच्चय में जोड़ा जाए जिनके लिए f$^{\prime}$ का मान शून्य है अर्थात् केवल एक बिंदु, नामतः $x = 1$ ही ऐसा है।
इस बिंदु पर $f$ का मान $f(1) = (1 - 3)^2 + (1)^4 = 5$ से प्रदत्त है।
इस प्रकार, सैनिक एवं हेलिकॉप्टर के बीच की दूरी $\sqrt{f(1)}$ = $\sqrt{5}$ है।
ध्यान दीजिए कि $\sqrt{5}$ या तो उच्चतम मान या निम्नतम मान है। क्योंकि
$\sqrt{f(0)} = \sqrt{(0-3)^{2}+(0)^{4}} = 3 > \sqrt{5}$ है।
इससे यह निष्कर्ष निकला कि $\sqrt{f(x)}$ का निम्नतम मान $\sqrt{5}$ है।
अतः सैनिक और हेलिकॉप्टर के बीच की निम्नतम दूरी $\sqrt{5}$ है।
मान लीजिए कि $f(x) = (x - 3)^{2 }+ x^4$
या $f^{\prime}(x) = 2(x - 3) + 4x^3 = 2(x - 1) (2x^2+ 2x + 3)$
इसलिए $f^{\prime}(x) = 0$ से $x = 1$ प्राप्त होता है तथा $2x^2+ 2x + 3 = 0$ से कोई वास्तविक मूल प्राप्त नहीं होता है। पुनः अंतराल के अंत्य बिंदु भी नहीं है, जिन्हें उस समुच्चय में जोड़ा जाए जिनके लिए f$^{\prime}$ का मान शून्य है अर्थात् केवल एक बिंदु, नामतः $x = 1$ ही ऐसा है।
इस बिंदु पर $f$ का मान $f(1) = (1 - 3)^2 + (1)^4 = 5$ से प्रदत्त है।
इस प्रकार, सैनिक एवं हेलिकॉप्टर के बीच की दूरी $\sqrt{f(1)}$ = $\sqrt{5}$ है।
ध्यान दीजिए कि $\sqrt{5}$ या तो उच्चतम मान या निम्नतम मान है। क्योंकि
$\sqrt{f(0)} = \sqrt{(0-3)^{2}+(0)^{4}} = 3 > \sqrt{5}$ है।
इससे यह निष्कर्ष निकला कि $\sqrt{f(x)}$ का निम्नतम मान $\sqrt{5}$ है।
अतः सैनिक और हेलिकॉप्टर के बीच की निम्नतम दूरी $\sqrt{5}$ है।
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